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3×3逆矩阵求法公式 矩阵如何求逆

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【3×3逆矩阵求法公式 矩阵如何求逆】线性代数在机器学习(ML)和深度学习(DL)中至关重要 。即使我们努力为许多理论创建准确的机器学习模型，线性代数仍然是这些研究中的重要工具 。这篇文章会跳过一些基础知识，比如什么是向量，什么是矩阵，如何做加法和乘法 。我将快速更新基本概念，并更深入地介绍一些重要主题 。
基本矩阵行为:
如最后一个等式所示，矩阵是不可交换的 。
调换传统上，向量x被写成列向量 。这就是向量和矩阵的换位 。
属性
如果a = a，那么矩阵是对称的 。如果a =-a，则称为反对称 。
内积内积a，b(或a b)是一个标量函数 。两个向量的内积定义为:
任何标量值的换位都等于其本身 。你可以在很多机器学习的论文里看到以下操作 。
单位向量是具有单位长度的向量 。
两个向量U和V之间的角度是
向量遵循以下不等式
属性
最后一个等式很重要 。这就是证据:
外部产品不要混淆xy和xy 。内积XY产生一个标量，但外积XY产生一个矩阵 。
两个矩阵相乘是A的第I列和b的第I行之和 。
例子
矩阵乘法的这个想法看起来很奇怪，但是在我们研究矩阵分解的时候就变得非常重要了 。
违反a的逆矩阵定义为:
属性:
注意:只有当A和B可逆时，上述才成立 。即使A是非方阵也不是这样 。(逆矩阵假设A是n × n方阵 。)求解线性方程组Ax = b，我们可以将A的逆矩阵乘以B来求解x 。
如果是不可逆的，则此方法失败 。我们需要一些其他的方法，比如高斯消元法来求解 。我们引入上面的逆——左边的左逆 。如果在右侧引入，则称为右逆 。
对于方阵来说，两者是一样的，我们只称之为逆矩阵 。
然而，即使逆矩阵似乎在文献中随处可见，我们也应该避免在实践中对任何矩阵求逆 。在机器学习(ML)中，我们处理许多稀疏矩阵——主要由零值元素组成的矩阵 。由于空和计算的复杂性，稀疏矩阵的逆是稠密的，不理想 。此外，逆矩阵在数值上可能是不稳定的——输入中的一个小的不准确或错误可能会触发一个大的错误 。
退化阵那么什么矩阵是不可逆的呢？奇异(退化)矩阵是没有逆矩阵的方阵 。以下等式计算3×3逆矩阵 。
对于现有的逆，行列式不能为0 。例如，下面的矩阵是奇异矩阵 。
它的行列式等于0 。因此，它没有逆 。
在行空和列空之间向量可以被分组以形成向量空 。r是包含所有n维实数向量的向量空 。可以将空房间分成子空房间，以便进一步学习 。比如R在3-D空之间，平面就是R的子空 。
根据定义，如果u和v在一个空室中，则u v和cu(其中c为常数)一定在同一个空室中 。这个定义也适用于sub 空 。这是一个非常抽象的定义 。它不限于向量 。其实很多对象，包括多项式函数，都可以形成空空间 。例如，任意阶的多项式函数构成空空间 。x的两个多项式函数相加仍然是多项式 。
向量的所有线性组合的集合构成子空空间，称为矩阵A的列空间或列跨度，用符号CoI(A)表示 。
如果以上所有列向量线性无关，那么列空跨越整个三维空空间 。然而，上述列向量是线性相关的 。第三列向量是前两列的线性组合 。
第三列向量在表示a的列空之间时我们可以删除，因此，矩阵的列空只构成一个平面 。
Ax是A列向量的线性组合这个概念是非常基本的 。所以，花几秒钟来习惯这个概念 。
这个方程也以更熟悉的形式给出 。
其中a1在张安A的列空之间..同样，行在创建行空时形成行向量 。
如果我们用C(A)表示a的列空，我们C(A?转置a和C(A)之间表示a的行空
线性相关在n维空中只能有n个线性无关的向量 。在下面左图中，绿色矢量可以用蓝色和红色矢量来表示 。两个向量在三维空间中形成一个平面空 。平面上的任何向量，就像下面黄色的向量，都是红色向量的线性组合 。
在数学中，满足下列条件的一组线性无关的向量
只有当所有线性因子c都为0时 。简而言之，没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合 。另外，A的列是线性无关的，如果Ax=0的唯一解是
要得到0以外的解，A必须是单数 。也就是
否则可以求逆，v只有一个解等于0 。
对于Ax = 0有非零解，A是奇异的，det(A)= 0 。
命令测量等级A的列/行之间的线性独立性 。就是这些列/行的空维数，决定了线性系统AX = B中解空之间的维数，矩阵的秩等于
对于任何矩阵，列空和行空具有相同的维数(秩) 。因此，矩阵的秩可以通过行或列来计算 。这里是不同矩阵的秩 。
如果一个矩阵是可逆的，则其逆是唯一的 。会有解x = A? b .但是，在方阵中，如果列/行是线性相关的，则矩阵是奇异的，不可逆的 。一个矩阵的秩(通常对于任何矩阵)可以帮助我们确定线性依赖以及是否存在唯一解 。下图展示了如何用矩阵形式表示线性方程组及其解的个数 。
如果B不在A的列空中，则解为零，即A中列的线性组合不能到达B 。
高斯消去和回代如前所述，我们很少计算a的逆来求解ax = b，最常用的方法之一是高斯消元代换法 。很多人已经知道用这种方法解线性方程组了 。所以我简单介绍一下，介绍一些关键术语 。来解决
我们应用消去法为x 1列中的第2行和第3行创建前导零 。一旦我们消除了x 1列，我们就重复x 2和x 3的过程 。
矩阵A可以被消除成具有非零前导值的两行 。这两个非零值称为枢轴 。
矩阵的秩等于主元的数量 。(消去后，我们只留下两个有意义的方程 。如果n×n矩阵的主元少于n个，则该矩阵是奇异的 。除b列外，底行中的所有值都为零 。
对应于列中一个支点的变量称为主分量 。其他变量称为自由变量，可以取无穷大的值 。在上面的例子中，我们有两个主成分(x，x)和一个自由变量x 。在消除步骤之后，与变量x相关联的矩阵形成一个上三角矩阵 。
为了理解Ax = b，我们进行回代 。从底线开始，一次解析一个变量 。
如果我们把自由变量x 3设为0，就会有一个特殊的解 。
让我们用枢轴来解决另一个例子 。行消除后，我们用B列中的非零值来设置这些主体，然后将所有自由变量设置为0 。这就成了x的解 。
考虑Ax = b，其中a是m×n矩阵，秩为r，x有n个分量 。在行消除之后，除了列B，矩阵将具有m-r个全零行 。
若任一零行有b≠0，则无解 。不能得出上图中0=2的结论，线性方程组相互冲突 。如果秩r小于n，则x变成n-r维 。换句话说，如果我们有r个线性无关的方程来求解x中的n个变量，那么只要方程中没有冲突，就有n-r个自由度 。
高斯-乔丹消去法(英语:高斯-乔丹消去法)我们使用的方法叫做高斯-乔丹消去法 。这是非奇异矩阵的一个例子 。
求A的逆，可以用n×n单位矩阵I代替b 。
在处理线性代数时，计算的精度是有限的，这一点尤为重要 。另外，我们希望计算速度要快 。幸运的是，我们有一个库来为我们处理这些工作 。所以，我们只简单介绍一下 。
行交换 。通过一些巧妙的行交换，行消去和回代将不易受舍入误差的影响 。在一行消去之前，如果系数的比例存在巨大差异，我们就用前导值最大的那一行来交换第一行 。如果不重新排序，解决方案可能会有很大的偏差 。
提升和保持矩阵的稀疏性可以减少运算次数(我们可以忽略0乘以任何数) 。在矩阵操作中，我们希望非零值只位于矩阵的对角线上 。
在零空和左零空之间我们已经介绍了行空和列空 。还有两个比较重要的sub 空房间 。X的下列空称为A的零点空，记为N(A)
它包含Ax=0的所有解 。它至少包含x=0 。的行向量乘以x(内积)等于0 。
因此，行空之间的任何向量都垂直于零空 。即A的行空与A的零空正交 。
例子，
这个矩阵的秩是2 。有主元素的列称为主列，有自由变量的列称为自由列 。空闲列的数量等于列的数量减去秩 。如下图，对应的自由变量是X和X 。
一次一个，我们将每个自由变量设置为1，将其他自由变量设置为0 。有了两个自由变量，我们可以导出两个特解 。
通解将是特解的任意线性组合，形成秩为2的范围0空 。如前所示，如果A中的列是线性无关的，那么零空之间的空间只包含向量0 。同样，左零空正交列空之间有n (a)，即A?x= 0 。行空、列空、零空和左零空构成矩阵a的四个基本子元素空 。
通解之前我们只找到了ax = b的一个特解，如果A是奇异的，可以有很多，也可以没有 。现在我们来找一个通用的解决方案 。
首先，求特解 。
接下来，求Ax=0的解 。a的秩是2，所以我们可以找到2(4-2=2)个独立解 。
通解是特解加Ax=0解的任意线性组合 。
在图上，这是二维例子上面的虚线 。下面的等式是我们例子的一般解，其中c是常数 。
和正交sub 空如果两个向量的内积x和y等于零，则它们是正交的 。
如果它们是2D或3D向量，它们可以被可视化为彼此垂直 。
如果正交向量有单位长度，则称为标准正交性 。如果来自每个sub 空的任何向量总是彼此正交，则两个sub 空彼此正交 。在三维空房间中，X轴和Y轴是两个相互正交的子空房间 。然而，并不是所有垂直于X轴的向量都属于Y轴 。它可以是yz平面上的任何向量 。如果垂直于一个sub 空的任何向量必定属于另一个sub 空，那么一个sub 空与另一个sub 空正交 。组合来自每个sub 空的向量以重构R空 。如果一个孩子空之间的正交补的维数是k，那么另一个孩子空之间的维数一定是n-k 。
列空、行空、零空和左零空构成m×n矩阵a的四个基本子空空间 。
列空间：C（A）行空间：C（A?）零空间：N（A）左零空间：N（A?）
这些sub 空之间的关系是:
列空间和行空间具有相同的维度和秩 。A的秩(r)等于列空间和行空间的秩 。行空间是零空间的正交补(⊥) 。列空间是左零空间的正交补(⊥) 。行空间有r维，零空间有n - r维 。列空间有r维，左零空间有m - r维 。
求解Ax=b的x时，若b不在A的空列，则不可解，Ax=b的特解在空行 。Ax=0的解位于0空之间 。通解是通过加一个特解和零空之间解的任意线性组合得到的 。
机器学习和线性代数简明教程(下)

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