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数域相关概念

数学

现在开始密码学的学习阶段了，数学知识是必不可少的。
数环：
定义：设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是一个数环。
例如整数集Z就是一个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质：
1. 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）。
2. 设S是一个数环。若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。
数域：
定义1：设F是一个数环，如果对任意的a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F；则称F是一个数域。
定义2：设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是一个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质：任何数域都包含有理数域Q。
线性空间：

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。（个人理解就是可加性和齐次性）
定义：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．
1. V对加法满足：
（1）（交换律）x+y=y+x；
（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)
（3）（零元素）在V中有一元素θ，对于V中任一元素x都有x+θ=x；
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；
2. 数量乘法满足：
（5）（1乘律）1x=x；
（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；
3. 数量乘法和加法满足：
（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；
（8）（数因子分配律）k(x+y)=kx+ky．
其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。
当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
简单性质
（1）V中零元素（或称θ向量）是唯一的。
（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。
（3）kx=θ（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=θ。
（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
例子
1. 域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。
2. 复数域C是实数域R上的线性空间。
3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。
4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。

【数域相关概念】

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