现在开始密码学的学习阶段了,数学知识是必不可少的。
数环:
定义:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积(没有商)仍属于S,则称S是一个数环。
例如整数集Z就是一个数环,有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质:
1. 任何数环都包含数零(即零环是最小的数环)。
2. 设S是一个数环。若a∈S ,则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环,则M∩N也是数环。
数域:
定义1:设F是一个数环,如果对任意的a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F;则称F是一个数域。
定义2:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍属于S,则称S是一个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质:任何数域都包含有理数域Q。
线性空间:
简单的说,线性空间是这样一种集合,其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素,任意元素与任意数(可以是实数也可以是复数,也可以是任意给定域中的元素)相乘后得到此集合内的另一元素。(个人理解就是可加性和齐次性)
定义:设V是一个非空集合,F是一个数域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素x和y,在V中都有唯一的一个元素z与他们对应,称为x与y的和,记为z=x+y.在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于数域F中任一数k与V中任一元素x,在V中都有唯一的一个元素y与他们对应,称为k与x的数量乘积,记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则,那么V称为数域F上的线性空间.
1. V对加法满足:
(1)(交换律)x+y=y+x;
(2)(结合律)(x+y)+z=x+(y+z)
(3)(零元素)在V中有一元素θ,对于V中任一元素x都有x+θ=x;
(4)(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=θ;
2. 数量乘法满足:
(5)(1乘律)1x=x;
(6)(结合律)k(lx)=(kl)x;
3. 数量乘法和加法满足:
(7)(分配律)(k+l)x=kx+lx;
(8)(数因子分配律)k(x+y)=kx+ky.
其中x,y,z为V中任意元素,k,l为数域F中的任意元素,1是F的乘法单位元。
数域F称为线性空间V的系数域或基域,F中元素称为纯量或数量(scalar),V中元素称为向量(vector)。
当系数域F为实数域时,V称为实线性空间。当F为复数域时,V称为复线性空间。
简单性质
(1)V中零元素(或称θ向量)是唯一的。
(2)V中任一向量x的负元素(或称负向量)是唯一的。
(3)kx=θ(其中k是域F中元素,x是V中元素)当且仅当k=0或x=θ。
(4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。
例子
1. 域F上m×n矩阵全体,按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。
2. 复数域C是实数域R上的线性空间。
3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。
4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。
【数域相关概念】
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