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一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义

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傅立叶变换的意义(本文解释傅立叶变换！)
学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式 ， 数学功底不好的同学一听到傅里叶变换就头疼 。其实很多数学功底很好的数字信号处理专业的学生 ， 并不一定理解傅立叶变换的真正含义 ， 学以致用！
其实傅里叶变换的相关运算已经很成熟了 ， 有现成的函数可以调用 。对于大多数只需要用好傅里叶变换的同学来说 ， 重要的不是去死记那些枯燥的公式 ， 而是去理解傅里叶变换的意义和作用 。
本文试图在没有数学公式的情况下 ， 用通俗易懂的语言来阐述傅里叶变换的含义、意义和方法 ， 希望大家能更接近傅里叶变换 ， 并善加利用 。
一个
伟大的傅立叶 ， 巨大的争议！
1807年 ， 39岁的法国数学家傅立叶在法国科学学会上发表了一篇论文(此时不能发表 ， 但21年后会发表) 。在论文中 ， 有一个当时极具争议的论断:“任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成” 。
这篇论文引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注！
58岁的拉普拉斯同意傅立叶的观点 。
71岁的拉格朗日(看起来像是现任院士 ， 不必退休)反对 ， 认为“正弦曲线不能组合成有棱角的信号” 。屈服于拉格朗日的声望 ， 这篇论文直到朗格朗死后15年才发表 。
后来我们科学家证明傅立叶和拉格朗日都是对的！
诚然 ， 有限数量的正弦曲线无法组合成一个有棱角的信号 。然而 ， 从能量的角度来看 ， 无限数量的正弦曲线的组合可以非常无限地逼近具有棱角的信号 。
2
傅立叶变换的定义
后世扩展了傅立叶的论断:满足一定条件的函数可以表示为三角函数(正弦和/或余弦函数)或其积分的线性组合 。如何得到这种线性组合？这就需要傅里叶变换 。
必须是什么条件？
这是数学家研究的问题 。对于大多数从事电参数测量的工程师来说 ， 不需要关注这个问题 ， 因为电参数测量中遇到的所有周期信号都满足这个条件 。
这样 ， 在电参数的测量和分析中 ， 我们可以用更通俗的话来描述傅立叶变换:
任何周期信号都可以分解成DC分量和一组幅度、频率和相位不同的正弦波 。分解方法是傅立叶变换 。
而且这些正弦波的频率符合一个规律:它是某个频率的整数倍 。这个频率称为基频 ， 其他频率称为谐波频率 。如果一次谐波的频率是基波频率的n倍 ， 则称为n次谐波 。DC分量的频率为零 ， 是基频的零倍 ， 也可称为零次谐波 。
三
傅立叶变换的意义
1.为什么需要傅里叶变换？
傅立叶变换是信号描述的需要 。
只要能反映信号的特征 ， 描述方法越简单越好！
信号的特征可以用特征值来量化 。
所谓特征值 ， 是指能够定量描述波形某一特征的数值 。为了全面描述波形 ， 可能需要多个特征值 。
比如正弦波 ， 完全可以用振幅和频率来描述 。方波完全可以用三个特征值来描述:幅值、频率和空(单周期信号不考虑相位) 。
用示波器观察实时波形可以得到上述特征值 ， 称为时域分析法 。其实很多人习惯了时域分析 。当他们想知道一个信号时 ， 他们会说:“让我看看波形！”
但是 ， 除了一些常见的规律信号 ， 大多数时候 ， 即使给你看波形 ， 你也看不懂！
不说复杂 ， 看看下面的波形 ， 能看到路吗？
我们能看到的只是一个类似正弦波的波形 ， 它的振幅是按照一定规律变化的 。
如何记录这个波形的信息？尤其是量化记录！
很难！
实际上 ， 上述波形经过傅里叶变换后 ， 一个40Hz的正弦波叠加在一个50Hz的正弦波上 ， 两者的幅度是不同的 。40Hz的幅度越大 ， 波动幅度越大 ， 波动频率为10Hz的差频(三相异步电动机在叠频温升试验时的电流波形) 。
看另一个看似简单的波形:
这个波形有点像正弦波 ， 但比正弦波更尖锐 ， 俗称“峰波” ， 在变压器空负载电流输入波形中更常见 。
我们很难准确量化正弦波和正弦波的区别 。
傅里叶变换后 ， 得到以下频谱(振幅频谱):
包括3 ， 5 ， 7 ， 9次谐波 ， 一目了然！
傅立叶变换是一种信号分析方法 。让我们对信号的组成和特征进行深入的定量研究 。用频谱(包括振幅谱、相位谱和功率谱)的方式准确定量地描述信号 。
这是傅立叶变换的主要目的 。
现在 ， 我们知道傅立叶变换的目的了 。剩下的问题是:
2.为什么傅里叶变换会把一个信号分解成正弦波的组合 ， 而不是方波或三角波？
事实上 ， 如果张三能够证明任何信号都可以分解成方波的组合 ， 那么这种分解方法就可能被称为张三变换；李斯可以证明任何信号都可以分解成三角波的组合 ， 分解方法也可以叫李斯变换 。
傅立叶变换是一种信号分析方法 。既然是分析方法 ， 那它的目的应该是让问题更简单 ， 而不是更复杂 。傅立叶选择了正弦波 ， 而不是方波或者其他波形 ， 这正是它的伟大之处！
正弦波有一个其他任何波形(除了恒定的DC波形)都不具备的特性:当正弦波输入到任何线性系统时 ， 都是以正弦波的形式出来 ， 只改变幅度和相位 ， 即当正弦波输入到线性系统时 ， 不会产生新的频率分量(当变频器等非线性系统时会产生新的频率分量 ， 称为谐波) 。线性系统的幅频特性可以通过输入单位幅度不同频率的正弦波 ， 记录输出正弦波的幅度与频率的关系得到 ， 而输出正弦波的相频特性可以通过记录相位与频率的关系得到 。
线性系统是自动控制研究的主要对象 。线性系统有一个特点:多个正弦波叠加后输入一个系统 ， 输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加 。
也就是说 ， 只要研究正弦波的输入输出关系 ， 就可以知道系统对任何输入信号的响应 。
这就是傅立叶变换的主要意义！
四
傅立叶变换怎么求？
文章开头说有成熟的函数调用具体的傅里叶变换 。本文只讲述如何理解傅立叶变换的思想 。如果掌握了这个思路 ， 就不需要背公式 ， 也不需要调用任何函数 ， 自己就可以做一个简单的程序 。就算不会编程 ， 只要学过三角函数 ， 至少也能理解傅里叶变换的过程 。
傅立叶的伟大不在于如何进行傅立叶变换 ， 而在于“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成”的伟大结论 。
知道了这个论断 ， 只要知道正弦函数的基本特征 ， 变换并不难 ， 不用背公式就能实现傅里叶变换！
正弦函数有一个特性 ， 叫做正交性 。正交性是指任意两个不同频率的正弦波的乘积 ， 在两者的共周期内积分等于零 。
这是一个非常有用的功能 。我们可以利用这个特性设计一个检测器(以下简称为检测器A ),如下所示:
探测器A由一个乘法器和一个积分器组成 。乘法器的一个输入是已知频率f的单位振幅正弦波(以下简称标准正弦信号f) ， 另一个输入是待转换的信号 。检测器A的输出仅与待转换信号中频率为f的正弦分量的幅度和相位有关 。
待转换的信号可能包含也可能不包含频率为F的分量(以下简称F分量) ， 简而言之 ， 它可能包含各种频率分量 。总之 ， 要转换的信号是未知的 ， 可能是复杂的！
没关系 。我们先来看看要转换的信号是否含有F成分 。
因为其他频率分量和标准正弦信号F的乘积的积分都等于零 ， 所以检波器A可以当作不存在！通过检波器A后 ， 输出只有一个与F分量有关的量 ， 等于待转换信号中F分量与标准正弦信号F的乘积的积分 。
简单的结论是:
如果输出不等于零 ， 则输入信号包含F分量！
这个输出是F分量吗？
回答:不一定！
正弦波还具有以下特征:
同频率的正弦波 ， 当相位差为90°(正交)时 ， 一个周期内乘积的积分值等于零；相位相同时 ， 积分值达到最大 ， 等于它们有效值的乘积；当相位相反时 ， 积分值达到最小值 ， 等于它们有效值的乘积 。
我们知道标准正弦信号F的初相位为零 ， 却不知道F分量的初相位！如果F分量与标准正弦信号F之间的相位差正好为90°(或270°) ， 则检波器A的输出等于零！因此 ， 我们设计了另一个探测器B:
检波器B和检波器A的区别在于 ， 检波器B用标准余弦信号F(与标准正弦信号A有90°相位差)代替滤波器A中的标准正弦信号F 。如果要转换的信号包含F分量 ， 则检测器A和检测器B的至少一个输出不等于零 。
利用三角函数的基本知识 ， 可以证明探测器A和探测器B的输出信号的幅值的平方根等于F分量的幅值 ， 而与F分量的初相位无关 。而检波器B和检波器A的振幅之比等于F分量初始相位的正切 ， 以此类推……就可以得到F分量的相位 。
然后我们把标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率替换成我们关心的任意频率 ， 就可以得到输入信号的各种频率成分 。如果知道输入信号的频率 ， 把这个频率作为基频f0 ， 用f0、2f0、3f0依次替换标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率 ， 那么就可以得到输入信号的基波、二次谐波和三次谐波 。
这就是傅立叶变换！
什么？不能融合？
没关系 。实际上 ， 在谐波检测仪、电能质量分析仪等各种电参数测量仪器中 ， 现在都采用基于交流采样的离散傅里叶变换 。在离散信号处理中 ， 累加就是积分！
【一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义】傅里叶变换这么简单 ， 你学会了吗？

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