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什么是周期，周期函数是什么( 二 )

睿知什么


同理可证1/ f（x）是集{X/ f（x） ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数 。[1]
定理2
若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数） 。
证：
先证f（ax+b）的周期 。
∵T*是f（x）的周期，∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）∴T*/a是f（ax+b）的周期 。
再证是f（ax+b）的最小正周期 。
假设存在T’/a（0∴T’是f（x）的周期，但 T’∴不存在T’/a（0定理3
设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数 。
证：
设T是u=g（x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））
∴=f（g（x））是M1上的周期函数 。
例1
设=f（u）=u2是非周期函数，u= g（x）=cosx是实数集R上的周期函数，则f（g（x））=cos2x是R上的周期函数 。
同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx>0）也都是周期函数 。
例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证） 。
例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数 。
证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数 。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数 。[1]
定理4
设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期 。[1]
证：
设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p，则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X)，∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数 。同理可证：f1（x）、f2（x）是以T为周期的周期函数 。
推论
设f1（x） 、f2（x）……fn（x） 是集合M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若，… （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数 。
例1
f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数 。
例2
讨论f(X)= 的周期性 。
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数 。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数 。
tg2 是以T3=为最小正周期的周期函数 。
又都是有理数
∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）=为最小正周期的周期函数 。
【什么是周期，周期函数是什么】同理可证：
⑴f（x）=cos ；
⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x 。是周期函数 。
定理5
设f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，则f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q 。
证：
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1（x）与f2（x）的最小正周期，由定理4，可得f1（x）与f2（x）之和、差、积是周期函数 。
再证必要性（仅就f1（x）与f2（x）的差和积加以证明） 。
⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，
使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x 2cos（a1x+T）sin = -2sin（a2x+T）sin ⑴ 。
令x= 得2cos（a1x+T），则 （K∈Z） 。⑵

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