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实验拓扑是什么意思 拓扑是什么意思( 二 )

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我们可以提供一个描述甜甜圈的拓扑空房间，然后想象我们的甜甜圈是橡皮泥做的，然后在不违反规则的情况下拉伸成咖啡杯的形状 。所以，是的，在拓扑学中，咖啡杯和甜甜圈是一回事 。
图3:看起来不是特别好吃的甜甜圈
为什么球体不是甜甜圈？
现在我们知道了如何判断拓扑中两个对象的一致性 ， 接下来让我们看看如何判断它们在拓扑中的差异 。拓扑空之间有很多不同的属性可以区分它们 。对于三维物体，如球体和甜甜圈，我们可以用来区分它们的主要是它们有多少个孔 。如果一个对象比另一个对象有更多的洞，那么这两个对象在拓扑结构上是不同的 。这是因为他们违反了我们之前拉伸橡皮泥的规则 。要做一个洞，我们要么在橡皮泥上撕开一个洞 ， 要么把橡皮泥拉伸成甜甜圈形状，然后把两端融合在一起 。
图4:我们可以把橡皮泥球塑造成甜甜圈的形状，但是不打破规则，边缘不能融合在一起 。当我们把它弯成甜甜圈时，通心粉形状的两个圆脸依然存在 。
另一种在拓扑学中区分三维物体的常用方法是想象在上面行走 。例如，在球体上行走 。假设你从某一点出发 ， 一直在球面上绕着一个大圈走 。当你再次到达同一点时 ， 你可以向任一方向旋转90度，然后再绕一个大圈 。在绕球的第二圈 ， 你会穿过第一条路 。无论您在球面的哪个位置执行此操作，都会发生这种情况 。
图5:有两条相交路径的球体
这种现象也会发生在任何拓扑等价于球体的3D物体上 。但是，在一些拓扑上不等同于球体的对象上，有一些方法可以做到这一点，而不需要穿过第一条路径 。你可以在甜甜圈上看到这种现象 。
图6:如果我们从蓝色和绿色路径的交叉点开始，然后沿着绿色路径走 ， 这条路径与我们已经走过的地方没有交集 。
对于拓扑等价的物体，它们的许多拓扑性质是相同的；对于拓扑不相等的对象，这些拓扑性质不一定相同 。这些拓扑性质是确定两个对象是否拓扑等价的重要工具 。
其他拓扑对象
到目前为止，我们只讨论了可以在3D中可视化的拓扑空空间，但是拓扑的一个优点是，它允许我们使用相同的方法来轻松描述存在于4维、5维或更高维中的对象 。
克莱因瓶常用于这种拓扑结构:
图7:3D空房间中Klein瓶的展示| youtube:Numberphile
严格来说，我们并不能在三维空的房间里实际观察到真正的克莱因瓶 ， 但是通过让它自己穿越，我们可以对它的本质有所了解 。在四维空中，物体实际上并不穿越自身 。很难想象它会在第四维度弯曲重新连接自己 。克莱因瓶看起来有内侧和外侧，但你可以从一个特定的点沿着一条连续的路径 。你会经过克莱因瓶的“外”和“内”，最后回到原点，这说明克莱因瓶的3D表示在拓扑学上是同一个面 。所以克莱因瓶没有容积 。
然而，关于克莱因瓶子上的路径，一个有趣的事情是 ， 如果你遵循上面的路径 ， 当你回到原来的位置时，你实际上会成为你自己的镜像 。这是与克莱因瓶拓扑等价(或同胚)的对象的拓扑属性 。显然，克莱因瓶与球体或甜甜圈不是同胚的，因为无论我们如何在球体或甜甜圈上行走，当我们回到起点时 ， 我们都不会是自己的镜像 。如果物体具有作为自身镜像的性质，则称之为不可定向的 。克莱因瓶不能定向，球和甜甜圈可以定向 。另一个著名的无方向性曲面是莫比乌斯带 。这个很容易用纸条做，网上有很多教程 。
当一只螃蟹走在莫比乌斯带上，回到原来的位置时 ， 它是自己的镜像 。来源:维基共享资源
莫比乌斯带虽然不能定向，但在拓扑结构上并不等同于克莱因瓶 ， 其结构是一个整体 。虽然可以通过将两个莫比乌斯带的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但在三维空的房间里实际上是不可能的(可以试试) 。
用一张纸做一个油炸圈饼 。
研究3D 空中难以可视化的物体的拓扑更实际的方法是考虑它的键合图，它指导我们如何通过拉伸和键合2D形状的边来构造具有特定拓扑的物体 。
在考虑复杂形状的键合图之前，首先考虑较简单形状的键合图，甜甜圈:
图7:粘贴甜甜圈图片
我们假设图中的正方形是橡皮泥做的 ， 然后想象拉伸正方形使相对的边粘在一起或者粘在一起 。当我们把这些边缘粘在一起时，我们需要箭头指向同一个方向 。因此，我们将上图扩展如下:

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