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实验拓扑是什么意思 拓扑是什么意思( 三 )

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图8:如何从键合图中构造一个甜甜圈
下一张图与图7相似，只是两个红色箭头现在方向相反 。这意味着在将边缘粘合在一起之前，我们需要扭曲对象，使箭头指向相同的方向:
图9:更复杂的结合图
上面粘合图的第一步是拉伸正方形，使两条蓝线相交 ， 然后我们构建一个圆柱体，就像构建甜甜圈的第一步一样 。粘合甜甜圈的红色箭头指向同一个方向，但是现在，这两个红色箭头指向相反的方向 。这意味着我们必须以某种方式扭转圆柱体的一端，使箭头指向相同的方向，然后再将它们粘在一起 。正如你可能认为的 ， 这在物理上是不可能的 。因此，粘附图案产生的表面在物理上是不可能的 。但实际上，这是我们见过的物理上不可能的表面，克莱因瓶！
来源:tumblr上的Fouriest系列
粘合图是判断一个对象是否可以被定向的简单方法 。我们可以想象一下 ， 在粘合图上行走的原理和《吃豆人》里的差不多 。当吃豆人到达世界的一端，它可以从另一端出来 。如果我们想象吃豆人在胶粘地图上移动，当它进入一面时，会从同色的另一面出现，箭头决定了它的方向 。
假设吃豆人进入圆形键合图的右侧 ， 那么它会从左侧出现 。这就是普通吃豆人世界的拓扑结构 。
图10:吃豆人走在一个圆圈上 。
现在假设吃豆人进入克莱恩瓶键合图的右侧 ， 然后，吃豆人会出现在左侧 ， 不过是颠倒的:
图11:吃豆人走在克莱因瓶上
从上面的分析可以看出 ， 键合图可以使我们很容易地考虑对象的一些拓扑属性，如果没有键合图，这些属性将很难理解和利用 。
拓扑为什么有用？
实际上，拓扑学在统计学领域非常有用 。统计学的一个新的研究领域是拓扑数据分析 。有用的数据通常具有某种结构，而这些结构具有某种规律或趋势 ， 数据分析本质上就是揭示这种结构的过程 。在数据中寻找结构通常取决于我们如何看待数据，即使用了哪些统计检验 ， 哪些变量与其他变量进行了比较，以及使用了哪些可视化表示 。
从拓扑结构我们知道，看起来完全不一样的东西，其实可以有一样的结构 。这个思路也可以应用到数据上，因为即使是处理同样的数据，如果从不同的角度看数据，可能看起来完全不一样 。
在拓扑数据分析中，将对数据结构进行拓扑处理 。我们知道，拓扑性质是在变换过程中保持不变的性质，不改变其拓扑性质 。所以在分析数据的拓扑数据时，主要寻找经过各种处理方法后保持不变的属性 。这个过程可以比作像拉伸橡皮泥一样拉伸数据 。这样，我们就可以确定数据的真实结构，而不再依赖于观察数据的方式 。
这只是所谓“现实世界”中众多拓扑应用之一 。其他拓扑应用也涉及到看起来不一样的东西实际上是不是一样的问题，这个问题在处理不同人用不同方式表达的相同信息时非常重要 。有几种表达方式不同的情况:分子结构、地理图、DNA结构和结等 。
虽然一开始可能很难看出，但是拓扑学是大多数数学领域的基础 。很难准确定义“如何使用”拓扑，因为它的存在在数学的工作方式中根深蒂固，以至于我们甚至没有注意到我们正在使用它 。直到最近，拓扑学才成为一门独立于其他数学领域的学科，新的研究成果和应用不断涌现 。
卢克·库珀
翻译:Nuor
版本:xux
原始链接:
https://medium . com/cantors-paradise/what-is-topology-963 ef 4c 6365
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