互质数是什么意思举例说明带你了解互质数的定义是什么( 二 ) _经验知识

然后。根据同样的推理。两个自然数没有公约数3的概率。就是1-1/32 。继续下去。两个自然数没有公约数5的概率。就是1-1/52 。如此等等。
最后。两个自然数互质。就等价于它们的公约数既没有2 。也没有3 。也没有5等等。没有任何一个质数。因此。两个自然数互质的概率等于上面各个概率乘起来。

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这个表达式等于什么？仔细看一下。你就会发现。它就是s = 2的时候欧拉乘积公式右边那个连乘的倒数！因此。它等于s = 2时欧拉乘积公式左边那个连加的倒数。也就是1/ζ(2) 。
真是妙啊！现在问题变成了。ζ(2)等于多少？根据定义。

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也就是所有自然数的平方倒数的和。请问。它等于多少？
回答是π2/6 。约等于1.6449 。咦。在这里为什么会出现圆周率？这当然是有原因的啦。事实上这个等式又是欧拉证明的。这是欧拉的成名作之一。这个证明十分有趣。不过要用到微积分。许多同学们还没有学过。而且这个证明不是我们当前必需的。所以在这里我们就不讲了。有兴趣的同学请自己查阅文献。

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欧拉
对于当前的目的。把ζ(2) = π2/6代进去。我们就知道了：两个自然数互质的概率等于6/π2！数值计算一下。它约等于60.79% 。
这个结论对不对呢？我们还可以用计算机来验证一下。
我的朋友、风云学会会员陈经是计算机专家。他帮我写了一个程序。在1到32768（即2的15次方）之间随机取两个自然数。看它们是否互质。在测试1千万次后。发现两个自然数互质的次数总共有6080726次。因此在这个测试中。两个自然数互质的频率是60.80726% 。请看。它跟理论值60.79%是多么接近！
事实上。如果你学过数值分析。你就会知道这是一个相当粗糙的数值实验。在你考虑全体自然数的性质的时候。32768这个取值上限实在是太小了。小得有点令人发笑。以后我们会讲到一个例子。算到1千亿亿都不足以保证结果成立。我们重复一下。1千亿亿！这是一个令人惊掉下巴的例子。但在这里。令人吃惊的却是。对32768这么小的样本取样。就足以得到十分接近理论值的结果。这说明。两个自然数互质的概率这个问题。随着取样范围的增大。收敛得是非常快的。
你看。我们是不是通过研究ζ函数。对质数的分布获得了惊人的结果？
根据同样的推理。我们很快会发现。任选s个自然数。它们互质的概率就是1/ζ(s) 。在这里需要说明一下。三个或更多个自然数互质的意思。是所有这些数的整体的公约数只有1 。而不是其中任何两个自然数的公约数也只有1 。例如考虑2、3、4这三个自然数。其中的两个数2和4不互质。但这三个数的整体是互质的。这种情况我们把它算作三个数互质。
根据这个定义。你很容易看出。s越大。s个自然数互质的概率就越大。因为随着s的增大。某个质数刚好是s个自然数的共同质因子的可能性。就越来越低了。
从ζ函数的角度来考察。也确实应该如此。当s > 1的时候。n-s是一个减函数。所以ζ(s) = Σnn-s也是一个减函数。随着s的增加。ζ(s)在减小。所以ζ(s)的倒数在增大。也就是说s个自然数互质的概率在增大。
好。现在让我们把视线投向任意正整数s对应的ζ(s) 。
在这里可以告诉大家。对于正的偶数s 。ζ(s)是可以快速求出的。而且其中总是包含圆周率π的s次方。例如ζ(4) 。也就是所有自然数的四次方的倒数之和。它等于π4/90 。约等于1.0823 。由此可以算出。四个自然数互质的概率等于90/π4 。约等于92.39% 。
然而对于正的奇数s 。ζ(s)的计算就会变得非常麻烦。很难有个简单的表达式。例如对于ζ(3) 。也就是所有自然数的三次方的倒数之和。我们就只能说它约等于1.2021 。你要是想把它精确地表示出来。就只有一些比较复杂的积分或者无穷级数或者连分数的表达形式。
无论如何。根据ζ(3) ≈ 1.2021 。我们可以算出三个自然数互质的概率约等于83.19% 。从两个自然数互质的概率60.79% 。到三个自然数互质的概率83.19% 。到四个自然数互质的概率92.39% 。我们看到它们确实是在上升的。符合预期。
随着s趋于无穷大。ζ(s) = Σnn-s当中只有第一项1不受影响。后面的项都迅速地趋近于0 。所以ζ(s)会趋近于1 。相应的。s个自然数互质的概率也确实会趋近于100% 。这都是很容易理解的。