互质数是什么意思举例说明带你了解互质数的定义是什么( 三 ) _经验知识

你也许会问：s只能取整数值吗？当然不是。它完全可以取3/2（也就是1.5）或者1.6或者π等非整数的值。对于非整数的s 。ζ(s)仍然是有明确定义的。只不过这时不能跟所谓“s个自然数互质的概率”联系起来了。你可以计算ζ(3/2) 。它约等于2.6124 。但你无法谈论所谓“1.5个自然数” 。
如果你对分数指数感到迷惑。请翻一下高中数学课本就知道了。这里可以提示一下。一个数的3/2次方。等于它的三次方的平方根。而一个数的π次方。就等于它的3次方、3.1次方、3.14次方、3.141次方、3.1415次方、3.14159次方等等这个数列的极限。
现在。我们对ζ函数增加了许多了解。明白了它跟质数有深刻的联系。并且知道了它在若干个点上的取值。现在。你是不是对这个函数感到很亲切。而不会感到恐惧了？
不过我们必须强调一下。到目前为止。所有的s都是大于1的。你也许会问。ζ(1)等于多少？也就是说。所有自然数的倒数和等于多少？在数学上。我们又把它称为调和级数（harmonic series）。
现在。一个关键点来了：ζ(1)等于无穷大！也就是说。调和级数是发散的！
为什么会这样？让我们把ζ(1)的表达式写出来。就能够做下面的推理：

文章插图
最后那个式子中。随着项数的增加。会出现无穷多个1/2 。无穷多个1/2加起来当然会大于任意的有限值。因此最后的式子是发散的。而ζ(1)比它还要大。所以当然也是发散的。
如果你觉得上面的表达方式不太严格。那么我们真正想表达的意思是：对于任意大的自然数k 。都有下面的不等式。

文章插图
实际上。调和级数虽然是发散的。但它发散得非常慢。把前面的10的43次方项加起来。都没有超过100 。10的43次方是多少？一亿是10的8次方。所以10的43次方就是1千亿亿亿亿亿。用物理世界举个例子。整个宇宙的半径大约是137亿光年。量级是10的26次方米。一个原子核的半径是10的-15次方米的量级。宇宙半径除以原子核半径也不过是10的41次方而已。还要再乘以100才能达到10的43次方。想想看。1千亿亿亿亿亿个数加起来。都没超过100！这是怎样的一种增长速度啊！
为什么会这样呢？原因又是欧拉告诉我们的。欧拉证明了。调和级数的增长速度。大致就是自然对数的增长速度。如果你没学过自然对数。那么可以简单解释一下：常用对数（经常写成lg）是以10为底的对数。而自然对数（经常写成ln）是以e为底的对数。这里的e是一个常数。约等于2.71828 。为什么要以这样一个数为底？因为在数学上。lnx具有许多很好的性质。处理起来比lgx方便得多。其实在数学中。自然对数才是“常用”的。比所谓“常用对数”常用得多。

文章插图
欧拉
更具体地说。欧拉证明了。调和级数的前n项之和约等于lnn 。而随着n的增大。它们的差值会趋近于一个常数γ：

文章插图
这个常数叫什么名字呢？当然。又叫做欧拉常数（Euler’s constant）……咦。我为什么要说“又”呢？

文章插图
欧拉
我们可以用两个面积的差来形象地表现欧拉常数。一个面积是一系列的矩形之和。它们的宽度都是1 。而高度从1到1/2 。到1/3 。到1/4 。如此等等。一路下降。另一个面积是y = 1/x即倒数函数曲线下面的面积。即图中的深红色部分。数学家会告诉你。它就等于lnx 。这两个面积的差。就是图中的蓝色部分。

文章插图
用面积表示欧拉常数
你会看到。在每一个矩形中。矩形的面积都大于倒数函数曲线下方的面积。但相差得越来越小。当x趋于无穷的时候。蓝色部分的面积就趋于一个有限值。它等于欧拉常数。
了解了调和级数即ζ(1)的发散性质以后。让我们回到欧拉乘积公式。在上一期中我们说过。欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立。有同学问我。欧拉乘积公式的推导过程好像跟s完全没有关系。那么它是不是对于任意的s都成立呢？回答是：不行。只有对大于1的s才成立。
这是因为我们的推导过程有一个前提。就是ζ(s)是一个有限值。或者说ζ(s)是收敛的。只有在这个前提下。才能把它当成一个正常的数进行种种操作。例如乘以1 - f(2) 。消去所有包含2n的项。但假如ζ(s)是发散的。那么这样的操作就毫无意义。有可能导致各种各样的错误。例如你经常听说的所谓“全体自然数的和等于-1/12” 。就是这样的一个错误！