互质数是什么意思举例说明带你了解互质数的定义是什么 _经验知识

任选两个自然数。它们互质的概率是多少？它就是s = 2时欧拉乘积公式右边的连乘的倒数。因此它等于s = 2时欧拉乘积公式左边的连加的倒数。即1/ζ(2) 。而ζ(2) = π^2/6 。因此这个概率等于6/π^2 ≈ 60.79% 。同样的。三个自然数互质的概率是1/ζ(3) ≈ 83.19% 。四个自然数互质的概率是1/ζ(4) ≈ 92.39% 。
在上一期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰。视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488）中。我们首先介绍了黎曼猜想的背景。即质数分布问题。然后指出了研究质数分布的基本工具。即欧拉乘积公式：

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这个公式左边的n指的是所有的自然数。1、2、3、4、5等等。右边的p指的是所有的质数。2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量。当s > 1时欧拉乘积公式成立。
数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和。用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式。我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样：

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然后。我们给出了欧拉乘积公式的证明。如果把n-s记作f(n) 。左边就是无穷级数Σnf(n) 。对这个无穷级数乘以[1 - f(2)] 。就会消掉所有的f(2n)项。再乘以[1 - f(3)] 。就会消掉剩下的项中所有的f(3n)项。再乘以[1 - f(5)] 。就会消掉剩下的项中所有的f(5n)项。把这样的操作重复无限多次。就会消掉所有的质数的倍数对应的项。也就是消掉所有的大于1的自然数对应的项。最后只剩下f(1)这一项。它等于1 。把所有乘上去的[1 - f(2)] [1 - f(3)] [1 - f(5)]…等等移到右边去。就是欧拉乘积公式的右边Πp[1 - f(p)]-1 。这样。我们就证明了欧拉乘积公式。
这其实就是当初欧拉的证明方法。它确实是一个非常巧妙的证明。堪称人类智慧的伟大结晶。令人赞叹不已。

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欧拉
在上期节目的视频中。我注意到一件有趣的事。当我开始讲这个证明过程的时候。弹幕中充满了“告辞”、“劝退”、“阵亡”、“我是谁。我在哪。我在干什么”之类自暴自弃的话。但随着讲解过程的深入。越来越多的弹幕变成了“懂了”、“妙啊”、“存活”、“说得很清楚啊” 。最后当证出来的时候。更是充满了一大片的“原来如此”、“太精彩了”、“恍然大悟”、“开心”等等。

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真香
隔着屏幕都能感觉到同学们的“开心” 。令我很欣慰。呐。做人呢。最重要就是开心！

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做人最重要就是开心
理解数学有一种独特的开心。是其他任何东西都不能代替的。就像我以前讲蓝眼睛岛问题的十个层次从蓝眼睛问题。看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰。完全理解了的同学就会非常高兴。因为他们从中学到的不止是这个问题本身的答案。还包括如何研究问题、如何获得深入理解的思维方法。
在上期节目的开头。我就讲了两个心理建设：一是打破跳蚤效应。勇敢地去面对数学；二是拿起纸笔。把瓜放下。任何同学如果真正按照这两点去做。我相信你就一定能领略到数学的乐趣！
回到欧拉乘积公式。左边的无穷级数Σnn-s是一个以s为自变量的函数。可以记作ζ(s)（ζ是一个希腊字母。发音zeta）。现在我们把它称为欧拉ζ函数。以后我们会看到它如何变成了黎曼ζ函数。通过研究ζ函数。我们就有可能对质数获得深刻的了解。什么样的了解呢？下面就来举一个例子。
请问：任选两个自然数。它们互质（coprime）的概率是多少？
首先来解释一下。两个自然数互质的意思。就是它们没有共同的质因数。换句话说就是。它们的最大公约数是1 。例如2和3互质。2和15互质。但15和21不互质。因为15和21都以3作为质因数。很快可以看出。任意两个不同的质数是互质的。一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的。1和任意自然数都是互质的。
了解了互质的定义之后。我们如何计算两个自然数互质的概率呢？
可以这样思考。首先。考虑两个自然数有公约数2的概率。这等价于它们都可以表示成2n 。而所有可以表示成2n的自然数在所有的自然数当中占据的比例是1/2 。因此。任选一个自然数。它可以表示成2n的概率是1/2 。而任选两个自然数。它们都可以表示成2n的概率就是1/2的平方。这就是它们有公约数2的概率。那么作为跟这种情况互补的情况。两个自然数没有公约数2的概率。就是1-1/22 。