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如果随意写一段数字,这段数字是不是一定能在任意无理数中找到？

生活知识经验知识


（以下回答默认十进制 。B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}）
首先 。证明一个相关命题：
如果任意给一段数字 。则一定可以找到一个无理数 。包含这段数字 。
证明：
设 。随意一段数字为： a?a?...a? 。其中 a? ∈ B （i = 1,2, ..., r） 。
假设, 它不是任意无理数的第 1 到 r 小数位 。即 。不存在：
x.a?a?...a?x?x?... ,x ∈ Z, x? ∈ B, （i = 1, 2, ... r）
这样的无理数 。令：
k = 0.a?a?...a?( 0 < k < 1)
则上面的假设 。说明在区间：
I = (x + k ,x + k + 10??)
中没有无理数 。
我们知道 √2 是无理数 。并且有：
1.4 < √2 < 1.5
于是：
0.4 < √2 - 1 < 0.5
0.4 × 10?? <(√2 - 1)× 10?? < 0.5 × 10??
x + k + 0.4 × 10?? < x + k + (√2 - 1)× 10?? <x + k + 0.5 × 10??
令：
y = x + k + (√2 - 1)× 10??
因为 √2 是无理数 。而 x, k, r 都是有理数 。所以 y 是无理数 。
另一方面 。因为：
x + k < x + k + 0.4 × 10??
x + k + 0.5 × 10?? < x + k + 10??
【如果随意写一段数字,这段数字是不是一定能在任意无理数中找到？】所以：
x + k < y <x + k + 10??
即：
y ∈ I
这和上面 I 中没有无理数 。矛盾 。故假设不成立 。于是：
对于随意一段数字 a?a?...a? 一定会 和 某个 无理数的 第 1 到 r 小数位相同 。
接着 。进入主题：
定义：如果 一个无理数 可以 包含任意给定的一段数字 。则称 其 为 合取数 。
题主问题可表示为 。猜想：任意无理数 x 都是 合取数 。
分析：
设 。随意一段数字为： a?a?...a? 。其中 a? ∈ B, （i = 1,2, ..., r） 。
令 P(a?a?...a?) 为 a?a?...a? 在 x 中出现的概率 。则：
P(a?a?...a?) = P(a?)P(a?)...P(a?)
只要 B 中个数字 在 x 中 出现的 概率 不为 0 则每个 P(a?) 就不为 0 。于是：
P(a?a?...a?) ≠ 0
则 猜想 成立 。
但是 。我很容易将 x 写成 二进制形式 x' 。x' 只包含 0 和 1：
x' = b.b?b?... 。b? ∈{0, 1} 。(i = 1, 2, ...)
由于 x' 是无限不循环的 。于是我们可以将 x' 当做十进制（这时 x' ≠ x） 。这样我们就得到了 一个 B 中 P(2) = P(3) = ... = P(9) = 0 的 十进制无理数 x' 。于是 只要 a?a?...a? 有 a? ≠ 0 或 1 。则 x' 就不包括 a?a?...a?。这与 a?a?...a? 的任意性 。违背 。于是很遗憾题主的猜想 不成立 。即：
不是任取一个无理数都可以包含任意给定的一段数字的 。
数学上称 B 中数字 出现概率 相同（均为 1/10) 的 无理数为正规数 。对于 正规数 来说 P(a?a?...a?) = 10?? ≠ 0 。于是 猜想 成立 。即：
任意 正规数 包含任意给定的一段数字的 。①
试验表明 。√2 。π 。e 接近 正规数 。但我们无法证明 它们是 正规数 。事实上 。我们也无法证明任何一个无理数是 正规数 或 合取数 。这也就是说：我们虽然得到了上面的结论 ① 。但是毫无用处 。
其他观点：
0.101001000100001……这个是无理数 。但它只有0和1
其他观点：
无理数没有规定的表达方式 。一部分可以有理数加运算法则来表示 。绝大部分根本找不到表达式 。任意写一段数字 。加运算符号 。本身可以组成无穷量的无理数 。有理数加无理数可以构造无理数 。有理数加无理数再加其他运算符号也可以构造无理数……
如2 。运算符号 。开方 。实数的任意次方基本都是无理数 。只有0次方和1次方是有理数 。三角函数 。sin2……也是无理数 。对数 。lg2……以任意实数为底构造无理数 。
无理数太多了 。有理数少得可怜 。

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