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控制图定义和运用范围 控制图的定义( 五 )

睿知经验知识


量化数字的差异即「差异量数」（measures of variability），包括方差和标准差 。
标准差揭示一组数字中彼此之间的差异，以及数字与平均值之间的差异 。
举例而言，假设你收集了一些学生分数（出于简洁性考虑，我们假设这些分数是总体） 。
我们首先在简单的散点图中绘制这些数字：
绘制完成后，计算差异的第一步是找出这些数字的中心，即平均值 。
视觉上，我们可以绘制一条线来表示平均分数 。
接下来我们要计算每个点和平均值之间的距离，并对得到的数值求平方 。记住，我们的目标是计算数字之间的差异，以及数字与平均值之间的差异 。我们可以用数学或视图的方式完成该操作：
这里有两点需要注意：我们无法计算所有差异的总和 。因为一些差异是正值，一些是负值，求和会使正负抵消得到 0 。为此，我们对差异取平方 。
现在，我们来计算差异平方的总和（即平方和）：
通过计算平方和，我们高效计算出这些分数的总变异（即差异） 。理解变异（variability）与差异（difference）之间的关系是理解多个统计估计和推断检验的关键 。上图中平方和 67.5 表示，如果我们将所有方框堆在一个巨大的正方形中，则大正方形的面积等于 67.5 points^2，points 指分数的单位 。任意测量集的总变异都是正方形的面积 。
方差
现在我们得到了总变异（即大正方形的面积），但我们真正想要的是平均变异（mean variability） 。要想求得平均变异，我们只需要用总面积除以方框的数量：
标准差
我们为什么不用方差来表示分数的差异呢？唯一的问题是，我们无法对比方差和原始分数，因为方差是「平方」值，即它是面积而非长度 。其单位是 points^2，与原始分数的单位 points 不同 。那么如何甩掉平方呢？开平方根啊！
这就是标准差的核心理念 。本文对标准差概念的基础直观解释可以帮助大家更容易地理解，为什么在处理 z 分数（z-score）、正态分布、标准误差和方差分析时要使用标准差的单位 。
此外，如果你用标准差公式中的拟合线 Y 替代平均值，则你在处理的是基础回归项，如均方误差（不开根号的话）、均方根误差（开根号，但是和拟合线相关） 。相关和回归公式均可使用不同量的平方和（或总变异区域）来写 。分割平方和是理解机器学习中的泛化线性模型和偏差-方差权衡的关键概念 。
简而言之：标准差无处不在 。
绝对值的问题
你可能会疑惑，为什么对差异求平方而不是取绝对值呢 。没有什么能够真正阻止你使用差异的平均绝对值 。平均绝对值给所有差异提供的是相同的权重，而差异平方为距离平均值较远的数字提供更多权重 。这或许是你想要的 。但是，大部分数学理论利用差异平方（可用微分） 。
不过，我会用一个容易理解的反例来回答这个问题 。假设有两个均值相同的分数 *** ：x_1 和 x_2：
从这些数字中，你可以轻松观察到 x_1 的变异和数值分散性比 x_2 低 。我们来计算两个 *** 差异的平均绝对值（二者的平均值都为 6）：
哦，结果并不好！两个 *** 的变异值相同，尽管我们能够看到 x_1 的数字差异要比 x_2 低 。现在，我们使用差异平方计算，得到：
在差异平方的作用下，我们得到了想要的结果：当数字越分散时，标准差越大 。
标准差内容原文链接：
什么是 I-MR 控制图I-MR控制图标绘变量数据在一段时间内的单个观测值（I控制图）和移动极差（MR控制图） 。使用此组合控制图可以在难以或不可能将测量值分成子组时监控过程中心和变异 。这种情况通常在测量费用高昂、生产量偏低或产品生产周期很长时发生 。

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