圆的面积公式是怎么来的圆的面积计算公式

【圆的面积公式是怎么来的圆的面积计算公式】

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对于任意一个圆。其面积S都是等于圆周率π与半径平方r^2的乘积。或者说。任意一个圆的面积与其半径平方之比都是相同的常数——圆周率。那么。这个结论是经过数学上的严格证明。还是一种数学直觉呢？事实上。圆面积公式（S=πr^2）在数学上能够严格证明。无论是我国古代的数学家。还是古希腊的数学家。都证明了这个公式。圆面积公式的证明方法有很多种。下面简单举几个例子。
（1）极限法一如果把一个圆分成n个等份。然后将其拼接成如下的四边形：

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当n趋于无穷大之时。也就是圆分成了无穷多个等份。那么。该四边形就会变成长方形。显然。这个长方形的长为半圆周长（πr）。宽为圆的半径（r）。该长方形的面积等于圆的面积。所以可得圆面积公式为：S=πr?r=πr^2 。
不过。为了完成这样的证明。首先还需证明圆周长公式（C=2πr）。通过相似三角形原理。用几何法很容易可以证明圆的周长与直径之比为相等的常数。该常数即为圆周率。
（2）极限法二把圆分成n等份。连接每个扇形中半径与圆的交点。并假设每个扇形的圆心角为2θ 。则2θ=2π/n 。

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考察其中一个三角形OAB 。根据三角函数可得。OC=rcosθ 。AB=2rsinθ 。三角形OAB的面积为：
S△OAB=1/2·AB·OC=r^2sinθcosθ
当n趋于无穷大时。圆的面积可以表示为：
S=lim(n→+∞)n·S△OAB
根据极限原理。可以算出S=πr^2 。
（3）积分法一严格意义上来说。这也是一种极限法。但这里是通过圆的方程（x^2+y^2=r^2）来严格计算圆面积：