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python凸函数最值 python凸优化

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你好，请问凸函数是怎么样的一个概念？答:凸函数指:函数图像在某一区间内是上凸的 。
于是就称:这个函数是这个区间上的凸函数 。
事实上 ， 对于二阶可导的函数而言，当函数的二阶导数小于零对应的区间 ， 称之为这个函数的凸区间 。
也可以说:函数是这些区间上的凸函数 。
供参考 ， 请笑纳 。
三分法求凸函数的极值求凸函数的极值是一个常见的问题，常见的方法如梯度下降法，牛顿法等 ， 今天我们介绍一种三分法来求一个凸函数的极值问题 。
对于如下图的一个凸函数$f(x),x\in [left,right]$,其中lm和rm分别为区间[left,right]的三等分点 ， 我们发现如果f(lm)f(rm)时，最值的横坐标x一定在[lm,right]的区间内 。
利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值 。举一个例子，如下图在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2 bx c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d，其中-200≤a,b,c,x,y≤200 。我们另pivot代表抛物线的对称抽 ， 可以发现当Xpivot，我们可以取left = pivot,right = inf, 反之left = -inf , right = pivot, 其距离恰好满足凸形函数 。而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值 。
望采纳，谢谢 。
凸函数一定有最大值吗如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意 ， ，…，，都有.若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是________________.由新定义知
凸函数最小值一定在两端吗为什么不是，在中间 。凸函数只有一个极小值，也就是最小值，没有局部的极小值，凸函数图像的上方区域 ， 一定是凸集，凸函数最小值不是在两端 ， 在中间 。
凸函数有最小值还是最大值. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的 。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点 ， 那么因为严格凸?
与x1,x2是极值点矛盾 。证毕 。2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点 。比如?
通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值 。3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见, Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度） ， ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微 ， N是包含{x: f(x)<=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"?
其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角 。通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的 。(1) 令pk = -▽f 可推出?
，故梯度下降法收敛(2) 令?
可推出?
，故牛顿法收敛 。(3) 令?
，其中Bk是对称矩阵，可推出 【多元连续严格凸函数是否存在唯一极值点】?
，故拟牛顿法收敛 。4. 理论上步长ak应该是计算出来的 ， 在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡) ， 是一个折衷的办法 ， 但是实际效果还不错 。参考文献 Numerical Optimization 2ed. Chapter 3.
■网友的回复
看到这么多中文数学术语吓到了……如果这个优化问题定义在凸集合上的话：strictly convexity（严格凸性，感谢 @netfish 指出和strongly convex的区别）保证了函数一定有唯一的极值点，因为如果函数有两个极值点a和b都在集合内部，那线段上的所有点函数值都是f(a)，也就是这条线段上函数的曲率为0 ， 与严格凸性的定义（曲率/二阶导处处非负）相悖 。即使最优解在集合边界也不会出现多个解，因为严格凸函数的等高线不可能是直线段（否则这个方向上的二阶导为0），而凸集合的边界不可能是“凹”的，所以不存在边界多点有同样函数值的情况 。所有的凸函数都一定能用精确梯度下降（gradient descent with optimal line search）找到（一个，如果有多个的话）最优解，因为只有在最优解附近的导数是0梯度下降才会停下来，除非最优无法达到（比如R上的1/x这种函数，最优在无穷）——不过题主要求函数定义在紧集合上了，所以没有这种问题 。因为如果梯度下降到了一个a点，如果其负梯度方向和集合在这一点的边界的切线反向（大概是指向外面），则它就是最优；否则，梯度下降肯定不能在这收敛——会沿着集合边缘下降找到真正的最优解 。如果问题不是定义在凸集合，那就不好说了：比如在二维平面上定义f(x,y)=x^2 y^2（严格凸性）在Y轴右边有一个开口朝左的月牙形集合 ， 在这个上面做优化，梯度下降就有可能找到月牙的任何一个端点（甚至极端情况下可能找到月牙的中间），这取决于初始化的位置 。?
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【python凸函数最值 python凸优化】?
文
凸优化（四）凸函数分析之前简单介绍了凸函数的定义 ， 相信大家对凸函数有了简单的认识，但是这是远远不够的，这次通过一些详细的函数讲解来介绍一下部分常见凸函数的特点 。
（1） 第一个定义 ：如果X为在实数向量空间的凸集 。并且有映射 ， 如果被称为 凸，则有如果F被称为 严格凸 ，那么有：
（2） 第二个定义 ：有映射 ，
（3） 第三个定义 ：若可微，对
（4） 第四个定义 ： 二阶条件 ，若二阶可微，则（这里的大于等于号是表示特征值大于等0，表示矩阵半正定）。
这四个定义在不同地方均有用处 ， 但在判断函数是否为凸函数时最常用的是第四个 。其中为 Hessian矩阵，表示函数的二阶偏导矩阵 。
（1） 仿射函数：,显然，其二阶导函数为，所以仿射函数为 凸函数。
（2） 指数函数：,显然,所以指数函数是 凸函数。
（3） 幂函数：,接着求导啊求导~，，，显然啦，当时，幂函数就成为了仿射函数，所以即凸又凹 。
（4） 负熵函数：,还是求导，,嗯 ， 还是个 严格凸函数。（也是个非常重要的函数?。。?
（5） 极大值函数（重中之重）： 现在来一个比较复杂却非常常见的函数：这个函数显然是不可导的，那么首先根据定义一来看一下是否为凸函数 。取两值，构造凸组合的新值,发现满足凸函数定义 ， 所以极大值函数时凸函数 。但是啊，由于其无法求导，后续处理会出现各种问题 。所以，这里有一个解析逼近，就是用一个解析函数去逼近极大值函数 。这个函数是这样的：那么来证明一下这个函数也是凸函数吧！这里就要用到凸函数的第四个定义了，轮到Hessian矩阵出场了 。对上述函数求二次偏导得到如下关系（ 公式打得累死 ）：
这个式子看上去也很丑，那么定义列向量,那么(1)式就变成了,函数的Hessian矩阵可以写成那么大家还记得半正定矩阵如何证明么？就是成立，那么A则为半正定矩阵 。好，那么开始构造?。? 另,那么(2)式就变成了:此式成立，用到的性质为 柯西-施瓦茨不等式 ,所以函数为凸函数 。
（6） 行列式的对数： ， 首先说明一下啊，当矩阵X只有一维时，那么原函数则为 ， 显然是凹函数 。所以我们是在已经知道其为凹函数的前提下证明它是凹函数的了~根据凸函数的第二个定义当，构造凸组合的函数继续化简得到为：接着只要分析这个式子就可以，求导即可，得到：到这里证明就结束了，原函数为凹函数得证 。
可见?。治龊剐砸话愣际峭ü? 矩阵来分析，但是对于部分凸函数的证明也不是简单的，总体的计算过程也在越来越复杂，后面会逐步讲解凸问题的理论与求解 。但是在证明的过程中会发现，其理论也是一步一步建立起来的，弄懂了原理之后看问题就会举一反三了 。
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