本文概述
- 群的属性
- 有限无限群
- 群的顺序
1）关联性：二进制运算*是关联的, 即a *（b * c）=（a * b）* c, ?a, b, c∈G
【群论介绍】2）身份：在G中有一个元素e, 称为身份, 因此a * e = e * a = a, ?a∈G
3）逆：对于G中的每个元素a, G中都有一个元素b, 称为a的逆, 使得a * b = b * a = e, ?a, b∈G
注意：如果一个群具有a * b = b * a的属性, 即交换律成立, 则该群称为abelian。群的属性以下定理可以理解群的基本特征：
定理1：-
1.陈述：-在一个群G中, 只有一个同一性元素（同一性唯一性）证明：-令e和e’ 是G中的两个恒等式, 令a∈G
=是= a i（i）’ 是’ = a?（ii）
（i）和（ii）的R.H.S等于?ae= ae’
因此, 根据左抵消定律, 我们得到e = e’
对于任何a∈G, G中只有一个恒等元素。因此证明了该定理。
2.陈述：-对于群G中的每个元素a, G中都有一个唯一元素b, 使得ab = ba = e（如果为逆则唯一）
证明：-令b和c均为a∈G的逆
那么ab = e和ac = e∵c = ce {身份元素的存在}?c = c（ab）{∵ab = e} = c =（ca）b?c =（ac）b {∵ac = ca }?c = eb?c = b {∵b = eb}
因此, G的逆是唯一的。
定理2：-
1.陈述：-在一个群G中, （a-1）-1 = a, ?a∈G
证明：我们有a-1 = a-1 a = e
其中e是G的标识元素
因此a是a-1∈G的逆
即（a-1）-1 = a, ?a∈G
2.陈述：在群G中, （a b-1）= b-1 a-1, ?a, b∈G
证明：-通过关联, 我们有
（b-1 a-1）ab = b 1 1（a a 1 a）b?（b 1 1 a 1 1）ab = b 1 1（e）b {∵a-1a = e}?（b -1 a-1）ab = b-1 b {∵eb= b}?（b-1 a-1）ab = e, {∵b-1b = e}
相似地
（ab）（b-1 a-1）= a（b b-1）a-1?（ab）（b-1 a-1）= a（e）a-1?（ab）（b-1 a-1）= a a-1 ab（ab）（b-1 a-1）= e {∵aa-1= e}因此（b-1 a-1）ab =（ab）（b-1 a -1）= e∴b-1 a-1是ab的倒数, 即b-1 a-1 = a b-1
因此定理被证明。
定理3：
在群G中, 左右抵消定律成立。
（i）ab = ac表示b = c
（ii）ba = ca表示b = c
证明
（i）令ab = ac在两边都乘以a-1得到a-1（ab）= a-1（ac）?（a-1a）b =（a-1 a）c?eb= ec?b = c
因此证明。
（ii）令ba = ca两边都乘以a-1 ba（ba）a-1 =（ca）a-1?b（aa-1）= c（aa-1）?be= ce?b = c
因此定理被证明。
有限无限群如果G是有限集, 则一个群（G, *）称为有限群。
如果G是无限集, 则一个群（G, *）被称为无限群。
示例1：群（I, +）是一个无限群, 因为整数集I是一个无限集。
示例2：乘模8下的群G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}是有限群, 因为集合G是有限集。
群的顺序群G的顺序是群G中元素的数量。用| G |表示。一群订单1仅具有标识元素, 即（{e} *）。
一群阶数2具有两个元素, 即一个标识元素和一个其他元素。
例1：令（{e, x}, *）为一群阶数2。操作表如图所示：
| * | e | x |
| e | e | x |
| x | x | e |
