方阵A的特征值和特征向量为标量λ和满足条件的非零向量v
关=λv
在这个等式中, A是一个n×n矩阵, v是非零n×1向量, 而λ是标量(可以是实数也可以是复数)。该方程式具有其解的任何λ值都称为矩阵A的特征值。它也称为特征值。与此方程相对应的向量v被称为特征向量。特征值问题可以写成
A·v-λ·v = 0
A·v-λ·I·v = 0
【MATLAB特征值和特征向量】(A-λ·I)·v = 0
如果相对于非零, 则该方程式仅具有以下解：
|A-λ·I | = 0
该方程式称为A的特征方程式, 是λ中具有n个根的n阶多项式。这些根称为A的特征值。我们将只处理n个不同根的情况。通过它们可以重复。对于每个特征值, 将存在特征值方程式为真的特征向量。
示例：查找2×
2矩阵的特征值和特征向量
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剩下的就是找到两个特征向量。首先找到与特征值λ1= -1相关的特征向量v1。
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在这种情况下, 我们发现第一个特征向量是任意两个分量列向量, 其中两个项的大小相等且符号相反。
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其中k1是一个任意常数。如果我们不必使用+1和-1, 则可以使用幅度相等且符号相反的任意两个量。
对第二个特征值进行相同的处理：
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同样, 特征向量的+1和-2的选择是任意的。只有它们的比例是必不可少的。这在下面的MATLAB代码中进行了演示。
>
>
A=[0 1;
-2 -3]A =01-2-3>
>
[v, d]=eig(A)v =0.7071-0.4472-0.70710.8944d =-100-2
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注意：MATLAB选择的特征向量方程式与我们选择的方程式不同。 v1, 1与v1, 2的比率以及v2, 1与v2, 2的比率与我们的解决方案相似；系统选择的特征向量不是唯一的, 但是它们的成分之比是唯一的。 MATLAB选择的值应使每个特征向量的分量平方和等于1。
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