数学建模|线性规划的实例赏析线性规划|算法|matlab|线性代数

线性规划的实例赏析本文偏向于数学建模实战，针对对于规划问题有一定的基础和理解的读者，所以其中数学理论与代码不过多讲解，重在解题过程的展示。

文章目录

线性规划的实例赏析
前言
一、解题思考模式
- 1.MATLAB求解方法
- - （1）基于求解器的求解方法：
  - （2）基于问题的求解方法：
- 2.规划问题的构成元素
- 3.线性规划问题的求解步骤
- 4.线性规划模型的形式
- 4.线性规划问题的解的概念
- 5.灵敏度分析
二、线性规划模型的求解及应用
- 【例一】一般问题。
- 【例二】运输问题。
- 【例三】可以转化为线性规划的问题
三、投资的收益与风险
- - （Ⅰ）问题分析
  - （Ⅱ）符号说明
  - （Ⅲ）模型假设
  - （Ⅳ）模型建立
四、总结
五、引用

前言求解线性规划模型已经有比较成熟的算法。对于一般的线性规划问题，常用的求解方法有图解法，单纯形法等。

<不太清楚的朋友可以参考系列文章《线性规划对偶问题》>
链接：https://blog.csdn.net/weixin_51128278/article/details/116246003
【数学建模|线性规划的实例赏析】虽然针对线性规划的理论算法已经比较完善，但是当需要求解的模型的决策变量和约束条件数量比较多时，手工求解模型是十分繁杂甚至是不可能的，通常需要借助计算机软件来实现。
目前，求解数学规划模型的常用软件有MATLAB、Python、Lingo等多种，本文主要以MATLAB软件求解。MATLAB求解数学规划问题（包括线性规划、整数规划和非线性规划）采用两种模式：基于求解器的求解方法和基于问题的求解方法。
以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考
一、解题思考模式在建立模型之前，有几个方面需要提前认知清楚，下面继续：
1.MATLAB求解方法（1）基于求解器的求解方法：
规定线性规划问题的标准格式是：
max ? f T x , \max f^Tx, maxfTx,
s . t . {A ? x ≤ b A e q ? x ≤ b e q l b ≤ x ≤ u b s.t.\begin{cases} \ A·x≤b \\ Aeq·x≤beq \\ lb≤x≤ub \\ \end{cases} s.t.?????? A?x≤bAeq?x≤beqlb≤x≤ub?
调用格式为：

[x,fval]=linprog(f,A,b) [x,fval]-linprog(f,A,b,Aeq,beq) [x,fval]-linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

（2）基于问题的求解方法：
先需要用变量和表达式构造优化问题，然后用solve函数求解。
例如：

clc, clear prob = optimproblem('ObjectiveSense', 'max') c = [4; 3]; b = [10; 8; 7]; a = [2,1; 1,1; 0,1]; lb = zeros(2,1); x = optimvar('x',2,'LowerBound',0); prob.Objective = c'*x; prob.Constraints.con = a*x<=b; [sol, fval, flage, out] = solve(prob) sol.x%显示决策变量的值

2.规划问题的构成元素

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3.线性规划问题的求解步骤

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4.线性规划模型的形式

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4.线性规划问题的解的概念

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5.灵敏度分析灵敏度分析是指对系统因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
可参考系列文章《数学建模评价类方法01——灵敏度分析》
链接：https://blog.csdn.net/weixin_51128278/article/details/117898155
二、线性规划模型的求解及应用【例一】一般问题。捷运公司在下一年度的1~4月的4个月内拟租用仓库堆放物资。仓库租借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大。已知各月份所需仓库面积列于、折扣见表1.1。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此该公司可根据需要，在任何一个月初办理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。

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clc, clear prob = optimproblem x = optimvar('x',4,4,'LowerBound',0); prob.Objective = 2800*sum(x(:,1))+4500*sum(x(1:3,2))+... 6000*sum(x(1:2,3))+7300*x(1,4); prob.Constraints.con = [sum(x(1,:))>=15 sum(x(1,2:4))+sum(x(2,1:3))>=10 x(1,3)+x(1,4)+x(2,2)+x(2,3)+x(3,1)+x(3,2)>=20 x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)>=12]; [sol,fval,flag,out]= solve(prob), sol.x

【例二】运输问题。可参考系列文章《特殊规划问题——运输问题》

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clc, clear, a = load('data1_5_1.txt'); c = a(1:end-1,1:end-1); e = a(1:end-1,end); d = a(end,1:end-1); prob = optimproblem; x = optimvar('x',6,8,'LowerBound',0); prob.Objective = sum(sum(c.*x)); prob.Constraints.con1 = sum(x,1) == d; prob.Constraints.con2 = sum(x,2)<= e; [sol,fval,flag,out]=solve(prob), xx=sol.x writematrix(xx, 'data1_5_2.xlsx')%数据写到Excel文件，便于做表使用

【例三】可以转化为线性规划的问题

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例如：

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clc, clear c = [1:4]'; b = [-2,-1,-1/2]'; a = [1,-1,-1,1; 1,-1,1,-3; 1,-1,-2,3]; prob = optimproblem; u = optimvar('u',4,'LowerBound',0); v = optimvar('v',4,'LowerBound',0); prob.Objective = sum(c'*(u+v)); prob.Constraints.con = a*(u-v)<=b; [sol,fval,flag,out]=solve(prob) x = sol.u - sol.v

三、投资的收益与风险（本题选自1998年全国大学生数学建模竞赛A题）
市场上有 n n n种资产（如股票、债券等） S i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) S_{i}(i=1,2,...,n) Si?(i=1,2,...,n) 供投资者选择，某公司有数额为 M M M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n n n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买资产 S i S_{i} Si? 的平均收益率为r i r_{i} ri?，并预测出购买S i S_{i} Si?的风险损失率为 q i q_{i} qi? 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i S_{i} Si?中最大的一个风险来度量。
购买 S i S_{i} Si? 要付交易费，费率为 p i p_{i} pi? ，并且当购买额不超过给定值u i u_{i} ui? 时，交易费按购买u i u_{i} ui? 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r 0 r_{0} r0?( r 0 = 5 (r_{0}=5%) (r0?=5 ，且既无交易费又无风险。

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试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M M M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
（Ⅰ）问题分析

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（Ⅱ）符号说明

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（Ⅲ）模型假设

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（Ⅳ）模型建立

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【模型一求解】

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clc, clear, close all prob = optimproblem('ObjectiveSense','max'); x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0); c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %净收益率 Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; %等号约束矩阵 prob.Objective = c*x; M = 10000; prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等号约束条件 q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %风险损失率 a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on while a<0.05 prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M; [sol,Q,flag,out]= solve(prob); aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q]; XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001; end plot(aa, QQ, '*k') xlabel('$a$','Interpreter','Latex'), ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)

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【模型三求解】

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clc, clear, close all prob = optimproblem('ObjectiveSense','max'); x = optimvar('x',5,1,'LowerBound',0); c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185]; %净收益率 Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; %等号约束矩阵 prob.Objective = c*x; M = 10000; prob.Constraints.con1 = Aeq*x==M; %等号约束条件 q=[0.025,0.015,0.055,0.026]'; %风险损失率 a = 0; aa = []; QQ = []; XX = []; hold on while a<0.05 prob.Constraints.con2 = q.*x(2:end)<=a*M; [sol,Q,flag,out]= solve(prob); aa = [aa; a]; QQ = [QQ,Q]; XX = [XX; sol.x']; a=a+0.001; end plot(aa, QQ, '*k') xlabel('$a$','Interpreter','Latex'), ylabel('$Q$','Interpreter','Latex','Rotation',0)clc, clear, close all, format long g M =10000; prob = optimproblem; x = optimvar('x',6,1,'LowerBound',0); r=[0.05,0.28,0.21,0.23,0.25]; %收益率 p=[0, 0.01, 0.02, 0.045, 0.065]; %交易费率 q=[0, 0.025, 0.015, 0.055, 0.026]'; %风险损失率 %w = 0:0.1:1 w = [0.766, 0.767, 0.810, 0.811, 0.824, 0.825, 0.962, 0.963, 1.0] V = []; %风险初始化 Q = []; %收益初值化 X = []; %最优解的初始化 prob.Constraints.con1 = (1+p)*x(1:end-1)==M; prob.Constraints.con2 = q(2:end).*x(2:end-1)<=x(end); for i = 1:length(w) prob.Objective = w(i)*x(end)-(1-w(i))*(r-p)*x(1:end-1); [sol,fval,flag,out]=solve(prob); xx = sol.x; V=[V,max(q.*xx(1:end-1))]; Q=[Q,(r-p)*xx(1:end-1)]; X=[X; xx']; plot(V, Q, '*-'); grid on xlabel('风险（元）'); ylabel('收益（元）') end V, Q, format

四、总结因为线性规划的PPT上内容完整，所以大部分内容还是参考PPT来的，也不用手打很多字，算是节约了不少时间。不出意外这应该是线性规划问题的最后一篇了，我现在明白了为什么运筹学讲线性规划就用掉11周的课......太要命了。接下来会进入图论的学习，不过那就是，期末考试之后的事儿辣~ 肝完这周的活儿，差不多全身心投入复习了！！！五、引用《运筹学教程》胡运权
《数学算法与应用》司守奎孙玺菁