深入浅出PID算法
前言
博主是工业互联网行码农一枚,虽然不是算法工程师和自动化方向的,但经常参加同事介绍控制算法原理的培训,慢慢的对小部分控制算法有一定了解,其中使用频率最高的控制算法非PID莫属。很多同学在学习PID的时候,会被繁杂的数学公式吓倒,今天我们就抛开数学公式,用逻辑和例子给大家讲明白“到底什么是PID”?
PID算法简介
PID是一种控制算法,是 Proportional(比例)、Integral(积分)、Differential(微分)的缩写。它是连续系统中技术最为成熟、应用最为广泛的一种控制算法。
PID控制器主要适用于基本上线性,且动态特性不随时间变化的系统。简单来说就是:类似于需要将某一个物理量“保持稳定”的场合,PID基本都能派上用场。
工业中PID典型的应用场景有:温度控制、流量控制、液位控制等。
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生活中PID的应用也很常见:自来水的压力控制、空调的温度控制、平衡车的平衡控制、汽车的定速巡航控制、无人机的悬停控制、火箭飞机的姿态调整等。
文章图片
实际运行经验和理论分析都表明,运用PID控制算法对许多工业过程进行控制都能得到比较满意的效果。
PID的概念及公式
PID的基本思路是根据偏差量的大小,运用比例、积分、微分计算出一个控制量,将这个控制量输入被控制的系统,系统接收到该输入量后会输出一个相应的输出量,PID控制器再检测该输出量,并再计算偏差,然后再循环以上过程。
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原始公式如下:
$u(t)=K_p \Bigg( e(t)+\frac{1}{T_i}\int^t_0e(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt}\Bigg)$
- $K_p$ —— 控制器的比例系数;
- $T_i$ —— 积分时间常数;
- $T_d$ —— 微分时间常数;
- $u(t)$ —— PID控制器的输出信号;
- $e(t)$ —— 给定值$r(t)$与测量值之差。
$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))$
- $K_p$ —— 控制器的比例系数;
- $K_i$ —— 控制器的积分系数;
- $K_d$ —— 控制器的微分系数;
- $u(t)$ —— PID控制器的输出信号;
- $e(t)$ —— 给定值$r(t)$与测量值之差。
- $e(t-1)$ —— 上一次给定值$r(t)$与测量值之差。
在学习PID之前,我们需要先了解什么是 开环控制 和 闭环控制,这2个概念能够帮助我们更好的理解PID。
开放回路控制系统
开环控制(Open Loop Control System):不将控制的结果反馈回来影响当前控制的系统。例如:
- 开关——按下开关后的一瞬间,控制活动已经结束,灯是否亮起已对按开关的这个活动没有影响;
- 投篮——篮球出手后就无法再继续对其控制,无论球进与否,球出手的一瞬间控制活动即结束。
闭环控制(Closed Loop Control System):需要将控制的结果反馈回来与希望值比较,并根据它们的误差调整控制作用的系统。例如:
- 调节水龙头——首先在头脑中对水流有一个期望的流量,水龙头打开后由眼睛观察现有的流量大小与期望值进行比较,并不断的用手进行调节形成一个反馈闭环控制;
- 骑自行车——同理,需要不断的修正行进的方向与速度形成闭环控制。
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我们拿“维持水缸水位高度在1米”为例,来详解闭环控制中的每个环节:
传感器
:人工测量当前水位高度目标量
:维持水缸水位高度在1米偏差量
:目标量
- 当前水位高度控制器
:根据偏差量
计算出执行量
执行量
:传给执行器
的入参执行器
:人工用水桶向水缸中加水
传感器
、目标量
、偏差量
、执行量
、执行器
这5个环节都比较简单,一眼就能看明白意思。最关键的环节控制器
相对复杂一些,在控制器
环节选择不同的控制算法,根据偏差量
计算出执行量
也不同,今天我们就具体看看PID的控制效果。PID之
比例P
前面有说到PID的基本思路是根据
偏差量
的大小,运用比例P
、积分I
、微分D
计算出一个控制量。但PID的3个参数,并不是非要一起使用,可以单用比例P
来控制,也可以两两联合用比例P
+积分I
或比例P
+微分D
来控制。我们先看看仅用
比例P
能带来什么样的控制效果?继续上面的“水缸”例子:传感器
:人工测量水缸初始水位高度是0.2米目标量
:维持水缸水位高度在1米偏差量
:1米 - 0.2米 = 0.8米控制器
:使用PID算法的比例控制,根据偏差量
计算出执行量
执行量
:传给执行器
的入参执行器
:人工用水桶向水缸中加水
偏差量
和执行量
之间的单位不同,在当前例子里偏差量
的单位是水缸,而执行量
的单位是水桶,他们的容积不一样,所以我们需要一个系数,来放大或者缩小两者的关系。具体公式可抽象为:这个时候,假设水缸旁边站着一个人,用水桶往水缸里加水来控制水位的高度。如果单纯的用比例控制算法,假设执行量
=比例P
=偏差量
*比例P系数
比例P系数
是0.5(相当于两桶水的容量
等于一缸水的容量
),我们开始模拟加水实验:文章图片
如上图结果所示,人工用水桶向水缸中加水8次,就能把水缸水位加到1米高度。把当前水位转换成曲线,大概效果如下。
文章图片
上述例子比较简单,单靠
比例P
就能完成任务,但现实情况往往只有比例P
是不够的,我们再来看一个更复杂的情况,假设比例P系数
仍然是0.5,但在每次加水的间隔,水缸都会漏掉0.1米高度的水。我们再从头模拟加水实验,看看具体结果会怎样?文章图片
如上图结果所示,当水位达到0.8之后,水位就不会继续增加了。因为,当水位等于0.8时,
偏差量
是0.2,每次往水缸中加水的量为执行量
= 比例P
= 0.2 * 0.5 = 0.1,而每次加水的间隔,水缸都会漏掉0.1米高度的水,所以加入的水和流出的水相抵消。虽然,此时控制系统已达稳定状态,但
实际值
与目标量
之间的会存在一个稳定差值,这个差值叫稳态误差
。稳态误差
非常常见,比如:控制空调温度会因为空气温差而降温、控制无人机固定高度会受重力影响往下掉、控制汽车定速巡航会有空气阻力和摩擦力的影响而减速,这些场景都会产生稳态误差
。单单只用
比例P
控制闭环回路,是无法避免稳态误差
问题的,因为比例P系数
无法根据时间或次数累加,当存在外界干扰因素时,比例P系数
无法动态调整大小,那么稳态误差
就会一直存在。假如我们引入时间的维度,就能获得2个神器
增幅器-积分I
和 抑制器-微分D
,他们分别解决比例P
过小和过大的情况,比例P
过小的话由增幅器-积分I
补充即可解决稳态误差
问题,比例P
过大由抑制器-微分D
消减来防止过度震荡。PID之
积分I
(增幅器)我们先来看看增幅器
积分I
,它也可以理解为累加经验,当比例P
过小,可以由积分I
补充,它的原理是利用过去的时间不断累加。具体公式可抽象为:想象一下,如果用只比例P
=偏差量
*比例P系数
积分I
=上一次积分I
+偏差量
*积分I系数
执行量
=比例P
+积分I
比例P
控制存在稳态误差
,说明比例P
过小,这时积分I
就会不断累加到一个很大的值,来补充比例P
,从而影响执行量
。如果最终控制效果在
目标量
附近抖动,我们就能得到一个正负交替的偏差量
,会在目标附近不断产生正负数累加到积分I
,积分I
就会不断趋近于零,最终使控制效果趋于稳定。我们继续用上面“水缸加水”的例子,假设
目标量
是1,每次漏水0.1,比例P系数
为0.5,积分I系数
为0.2,我们再从头模拟加水实验,具体数值如下。文章图片
把当前水位转换成曲线,大概效果如下。
文章图片
上一轮实验只用
比例P
控制存在稳态误差
。本轮实验加入了积分I
之后就有了累加效果,在未达到控制效果之前积分I
会持续累加,在达到目标量
之后积分I
因为惯性会继续过量控制 ,同时偏差量
会由正转负再转正,积分I
也会由正转负再转正,最终积分I
会持续抵消掉每次漏水0.1,控制效果趋于稳定 。增幅器有他的危险性,如果系统出现意外或错误,增幅器可能会被累加到无限大,导致系统不可用,所以增幅器需要有一定的限制。
- 1、限制幅度,在任意时刻都给
积分I
设定最大值和最小值。 - 2、不运行时清零,当系统判断没有运行时,主动将
积分I
清零。
微分D
(抑制器)我继续再看看抑制器
微分D
,它也可以理解为预测未来,用当前的偏差量
减上一次偏差量
,得到的结果就可能是下一次偏差量
,用下一次偏差量
提前参与到计算中,就可以防止执行量
过大,产生超出目标量
的问题。具体公式可抽象为:换个“汽车刹车”的例子,平稳驾驶的车辆,当发现前面有红灯时,为了使得行车平稳,基本上提前几十米就松油门踩刹车。当车辆离停车线非常近的时候,则使劲踩刹车使车辆停下来,整个过程可以看做一个加入比例P
=偏差量
*比例P系数
积分I
=上一次积分I
+偏差量
*积分I系数
微分D
= (偏差量
-上一次偏差量
) *微分D系数
执行量
=比例P
+积分I
+微分D
微分D
的控制策略。可以看到,在刹车过程中,因为
偏差量
是越来越小的,所以 微分D
= (偏差量
-上一次偏差量
)*微分D系数
一定是负数,在控制中加入一个负数项,他存在的作用就是为了防止汽车由于刹车不及时而闯过停车线。从常识上理解,越靠近停车线,就越应该踩深刹车,不能让车过线,所以这个
微分D
的作用,可以理解为刹车。当车离停车线很近,并且车速还很快时,这个 微分D
的绝对值(实际上是一个负数)就会很大,表示应该大力踩刹车尽快让车停下来。再回到上面“水缸加水”的例子,当发现水缸里的水快要接近
目标量
时,加入 微分D
可以减少过量加水的幅度,说白了就是减少控制过程中的震荡。假设目标量
是1,每次漏水0.1,比例P系数
为0.5,积分I系数
为0.2,微分D系数
为0.2,我们再从头模拟加水实验,具体数值如下。文章图片
上一轮实验使用
比例P
和积分I
联合控制,最高水位达到1.3,超过目标量
之后,水位最低回落至0.83。本轮实验加入了抑制器微分D
之后,最高水位仅达到1.23,超过目标量
之后,水位最低回落至0.88,相比上一轮实验,本轮震荡幅度明显减小,这就是微分D
的抑制作用。分享一个动图,很好的展示了
比例P
、积分I
、微分D
的控制效果,其中红色虚线是目标量
,曲线是用当前值
的变化趋势。结合这个动图,大家再回想一下“水缸加水”的例子,控制效果是不是很相似呀~文章图片
PID原理总结
我们用了“水缸加水”的例子,详细解释了PID的
比例P
、积分I
、微分D
三个参数的控制原理,相信小伙伴们已经明白什么是PID了。大家再回过头看这个公式,是不是也觉得挺亲切的。$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))$
- $K_p$ —— 控制器的比例系数;
- $K_i$ —— 控制器的积分系数;
- $K_d$ —— 控制器的微分系数;
- $u(t)$ —— PID控制器的输出信号;
- $e(t)$ —— 给定值$r(t)$与测量值之差(偏差量);
- $e(t-1)$ —— 上一次给定值$r(t)$与测量值之差。
比例P
、积分I
、微分D
都跟偏差量
有关比例P
取决于当前的偏差量
积分I
累计过去所有偏差量
之和微分D
预测下一时刻偏差量
比例P
是现在,积分I
是过去,微分D
是未来,是不是有一种哲学的感觉,哈哈~PID调参口诀
最后分享个PID调参口诀,写得挺好还挺押韵的~
参数整定找最佳,从小到大顺序查;参考引用
先是比例后积分,最后再把微分加;
曲线振荡很频繁,比例度盘要放大;
曲线漂浮绕大湾,比例度盘往小扳;
曲线偏离回复慢,积分时间往下降;
曲线波动周期长,积分时间再加长;
曲线振荡频率快,先把微分降下来;
动差大来波动慢。微分时间应加长;
理想曲线两个波,前高后低4比1;
一看二调多分析,调节质量不会低;
若要反应增快,增大P减小I;
若要反应减慢,减小P增大I;
如果比例太大,会引起系统振荡;
如果积分太大,会引起系统迟钝。
- 百度百科-PID算法
- 百度百科-开环控制
- PID控制入门原理:https://zhuanlan.zhihu.com/p/197927959
- PID控制算法原理:https://zhuanlan.zhihu.com/p/39573490
- PID控制原理及控制框图说明:https://www.dgzj.com/zidonghua/96044.html
- PID参数调整,个人经验:https://blog.csdn.net/weixin_44407238/article/details/119255699
- 学会PID-基于板球平衡系统:https://www.bilibili.com/video/BV1xL4y147ea
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