文章目录
- 1. RB-tree概述
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- 1.1 关于二叉搜索树
-
- 1.1.1 二叉搜索树简介
- 1.1.2 二叉搜索树的性质
- 1.1.3 平衡二叉搜索树
- 1.2 RB-tree
- 1.3 RB-tree平衡性修正
- 2. 节点及迭代器设计
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- 2.1 节点设计
- 2.2 迭代器设计
-
- 2.2.1 header设计
- 2.2.2 设计迭代器
- 3. RB-tree数据结构
- 4. RB-tree构造与内存管理
- 5. 元素操作
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- 5.1 元素插入
- 5.2 搜寻元素
- 6. 总结
1. RB-tree概述
RB-tree，即红黑树，是一种平衡二叉搜索树，由二叉搜索树经过某种特定的操作使之能够达到平衡
二叉搜索树，顾名思义，是由一颗二叉树组织而成，这样的一颗树可以由链表数据结构来表示，每个节点除了key以外，还有left、right及parent，分别指向左子节点、右子节点及父节点，如果对应的节点不存在的话则指向NIL节点
1.1.2 二叉搜索树的性质
【【STL源码剖析】|STL源码剖析 RB-tree】二叉搜索树是一颗空树或者具有以下性质的二叉树：
1.任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值2.任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值3.任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树4.没有键值相等的节点
我们知道，一颗由n个节点随机构造的二叉搜索树的高度为logn，但也许因为输入值不够随机，也许因为某些插入或删除操作，二叉搜索树可能会失去平衡，造成搜寻效率低落的情况。从而，引出了平衡二叉搜索树的概念，这里的平衡的意思是没有任何一个节点深度过大，如AVL tree要求左右子树高度相差最多1，AVL tree要求有点严苛，不过稍后所要解析的RB-tree并没有如此的严苛，只是要求最长路径不超过最短路径的两倍
1.2 RB-tree 经过刚刚的了解，我们知道RB-tree是一种平衡二叉搜索树，但RB-tree又不仅限于此，还必须满足以下规则：
1.每个节点不是红色就是黑色2.根节点为黑色3.每个叶子节点(NIL)为黑色[注意：这里所说的叶子节点是为空(NIL或NULL)的节点]4.父节点与子节点不能同时为红色5.从一个节点到其子孙节点的路径上所包含的黑节点数目相同
1.3 RB-tree平衡性修正 当我们在RB-tree中插入了一些数据时，就很容易导致RB-tree失衡，这个时候就需要某些特定操作来使得RB-tree重新恢复平衡，这些操作分为三种，分别为
改变节点颜色、左旋和右旋，下面让我们来逐一了解它们吧：- 改变节点颜色
首先，根据规则5，我们知道新增节点必须为红色，而当此时的父节点恰好为红色时，如果不进行更改，那么显然会违背规则4，这时就需要更改节点的颜色，如下图所示：
文章图片
- 将一个偏向右边的红色链接旋转为左链接，如下图：
文章图片
一个助于理解的动图：
文章图片
- 将一个偏向左边的红色链接改为右链接，如下图：
文章图片
一个有助于理解的动图：
文章图片
图片参考自eson_15的博客
2. 节点及迭代器设计
- 首先，在解析slist提到过RB-tree采用与slist相同的设计方式，即双层设计，那么现在我们就来一探究竟RB-tree的双层设计的内部结构
//RB-tree特有的颜色定义
typedef bool __rb_tree_color_type;
const __rb_tree_color_type __rb_tree_red = false;
//红色被定义为0
const __rb_tree_color_type __rb_tree_black = true;
//黑色被定义为1
//RB-tree节点基本结构
struct __rb_tree_node_base {
typedef __rb_tree_color_typecolor_type;
typedef __rb_tree_node_base* base_ptr;
color_type color;
// 节点颜色,非黑即红
base_ptr parent;
// 指向父节点,由于RB-tree时常要上溯其父节点
base_ptr left;
// 指向左子节点
base_ptr right;
// 指向右子节点// 一直往左走，就能找到红黑树的最小值节点
// 二叉搜索树的性质
static base_ptr minimum(base_ptr x)
{
while (x->left != 0) x = x->left;
return x;
}
// 一直往右走，就能找到红黑树的最大值节点
// 二叉搜索树的性质
static base_ptr maximum(base_ptr x)
{
while (x->right != 0) x = x->right;
return x;
}
};
// 真正的节点定义，采用双层节点结构
// 基类中不包含模板参数
template
struct __rb_tree_node : public __rb_tree_node_base
{
typedef __rb_tree_node* link_type;
Value value_field;
// 即节点值
};
2.2 迭代器设计 2.2.1 header设计
- 在了解RB-tree迭代器设计之前，首先了解header这一特殊设计：
- 树状结构的各种操作，最需注意的就是边界情况的发生，也就是走到根节点时要有特殊的处理，为了简化这种处理，SGI STL为根节点再设计了一个父节点，名为header
文章图片
- 当插入一个节点时，不但要按照RB-tree的规则来调整，并且维护header的正确性，使其父节点指向根节点，左子节点指向最小节点，右子节点指向最大节点
struct __rb_tree_base_iterator
{
typedef __rb_tree_node_base::base_ptr base_ptr;
typedef bidirectional_iterator_tag iterator_category;
typedef ptrdiff_t difference_type;
base_ptr node;
// 用来连接红黑树的节点// 寻找该节点的后继节点上
void increment()
{
if (node->right != 0) { // 如果存在右子节点
node = node->right;
// 直接跳到右子节点上
while (node->left != 0) // 然后一直往左子树走，直到左子树为空
node = node->left;
}
else {// 没有右子节点
base_ptr y = node->parent;
// 找出父节点
while (node == y->right) {// 如果该节点一直为它的父节点的右子节点
node = y;
// 就一直往上找，直到不为右子节点为止
y = y->parent;
}
if (node->right != y)// 若此时该节点不为它的父节点的右子节点
node = y;
// 此时的父节点即为要找的后继节点
// 否则此时的node即为要找的后继节点，此为特殊情况，如下
// 我们要寻找根节点的下一个节点，而根节点没有右子节点
// 此种情况需要配合rbtree的header节点的特殊设计，后面会讲到
}
}// 寻找该节点你的前置节点
void decrement()
{
if (node->color == __rb_tree_red && // 如果此节点是红节点
node->parent->parent == node)// 且父节点的父节点等于自己
node = node->right;
// 则其右子节点即为其前置节点
// 以上情况发生在node为header时，即node为end()时
// 注意：header的右子节点为mostright，指向整棵树的max节点，后面会有解释
else if (node->left != 0) {// 如果存在左子节点
base_ptr y = node->left;
// 跳到左子节点上
while (y->right != 0)// 然后一直往右找，知道右子树为空
y = y->right;
node = y;
// 则找到前置节点
}
else {// 如果该节点不存在左子节点
base_ptr y = node->parent;
// 跳到它的父节点上
while (node == y->left) {// 如果它等于它的父子节点的左子节点
node = y;
// 则一直往上查
y = y->parent;
}// 直到它不为父节点的左子节点未知
node = y;
// 此时他的父节点即为要找的前驱节点
}
}
};
template
struct __rb_tree_iterator : public __rb_tree_base_iterator
{
//...型别声明
// 迭代器的构造函数
__rb_tree_iterator() {}
__rb_tree_iterator(link_type x) { node = x;
}
__rb_tree_iterator(const iterator& it) { node = it.node;
}
// 提领和成员访问函数，重载了*和->操作符
reference operator*() const { return link_type(node)->value_field;
}
pointer operator->() const { return &(operator*());
}
// 前置++和后置++
self& operator++() { increment();
return *this;
}
self operator++(int) {
self tmp = *this;
increment();
// 直接调用increment函数
return tmp;
}
// 前置--和后置--
self& operator--() { decrement();
return *this;
}
self operator--(int) {
self tmp = *this;
decrement();
// 直接调用decrement函数
return tmp;
}
};
- 以下是对于这两个函数的个人理解（忽略图画的不好orz）：
文章图片
- RB-tree定义如下，我们可以观察到一些型别的定义，用来维护RB-tree的三笔数据（其中包含一个仿函数，用来比较节点之间的大小），以及一些member function的定义或声明：
template
class rb_tree {
protected:
typedef void* void_pointer;
typedef __rb_tree_node_base* base_ptr;
typedef __rb_tree_node rb_tree_node;
typedef simple_alloc rb_tree_node_allocator;
// 专属配置器
typedef __rb_tree_color_type color_type;
public:
// 一些类型声明
typedef Key key_type;
typedef Value value_type;
typedef value_type* pointer;
typedef const value_type* const_pointer;
typedef value_type& reference;
typedef const value_type& const_reference;
typedef rb_tree_node* link_type;
typedef size_t size_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
protected:
// RB-tree的数据结构
size_type node_count;
// 记录树的节点个数
link_type header;
// header节点设计
Compare key_compare;
// 节点间的键值大小比较准则// 以下三个函数用来取得header的成员
link_type& root() const { return (link_type&) header->parent;
}
link_type& leftmost() const { return (link_type&) header->left;
}
link_type& rightmost() const { return (link_type&) header->right;
}// 以下六个函数用来取得节点的成员
static link_type& left(link_type x) { return (link_type&)(x->left);
}
static link_type& right(link_type x) { return (link_type&)(x->right);
}
static link_type& parent(link_type x) { return (link_type&)(x->parent);
}
static reference value(link_type x) { return x->value_field;
}
static const Key& key(link_type x) { return KeyOfValue()(value(x));
}
static color_type& color(link_type x) { return (color_type&)(x->color);
}// 以下六个函数用来取得节点的成员，由于双层设计，导致这里需要两个定义
static link_type& left(base_ptr x) { return (link_type&)(x->left);
}
static link_type& right(base_ptr x) { return (link_type&)(x->right);
}
static link_type& parent(base_ptr x) { return (link_type&)(x->parent);
}
static reference value(base_ptr x) { return ((link_type)x)->value_field;
}
static const Key& key(base_ptr x) { return KeyOfValue()(value(link_type(x)));
}
static color_type& color(base_ptr x) { return (color_type&)(link_type(x)->color);
}// 求取极大值和极小值，这里直接调用节点结构的函数极可
static link_type minimum(link_type x) {
return (link_type)__rb_tree_node_base::minimum(x);
}
static link_type maximum(link_type x) {
return (link_type) __rb_tree_node_base::maximum(x);
}public:
// RBTree的迭代器定义
typedef __rb_tree_iterator iterator;
typedef __rb_tree_iterator
const_iterator;
private:
//...
void init() {//构造一个空tree
header = get_node();
//产生一个节点空间，令header指向它
color(header) = __rb_tree_red;
//令header为红色，用来将
//root与header区分开
root() = 0;
leftmost() = header;
//header的左子节点为自己
rightmost() = header;
//header的右子节点为自己
}
public:
Compare key_comp() const { return key_compare;
}// 由于红黑树自带排序功能，所以必须传入一个比较器函数
iterator begin() { return leftmost();
}// RBTree的起始节点为左边最小值节点
const_iterator begin() const { return leftmost();
}
iterator end() { return header;
}// RBTree的终止节点为右边最大值节点
const_iterator end() const { return header;
}
bool empty() const { return node_count == 0;
}// 判断红黑树是否为空
size_type size() const { return node_count;
}// 获取红黑树的节点个数
size_type max_size() const { return size_type(-1);
}// 获取红黑树的最大节点个数，
// 没有容量的概念，故为sizetype最大值
};
我们可以观察到，相较于其他的数据结构，其实RB-tree并无多少复杂，而对于header我们在上面已经解析了，稍后仍然会提及，所以这里还是没有什么难点的,接下来让我们来了解一些关于RB-tree的构造
4. RB-tree构造与内存管理 以下是RB-tree关于构造的一些实例：
1.在上述RB-tree数据结构定义中我们看到了RB-tree定义了一个专属的空间配置器rb_tree_node_allocator为其配置节点2.在上述数据结构中我们未列上去的关于节点的函数get_node(),put_node(),create_node(),clone_node,destroy_node()3.RB-tree构造方式：以现有的RB-tree复制一个新的RB-tree；产生一颗空空的树：
//例：产生一颗空空如也的树
rb_tree, less > itree;
//定义了节点的键值、实值及大小比较准则
//调用默认构造函数
rb_tree(const Compare& comp = Compare())
: node_count(0), key_compare(comp){init();
}
//调用init初始化
void init() {//构造一个空tree
header = get_node();
//产生一个节点空间，令header指向它
color(header) = __rb_tree_red;
//令header为红色，用来将
//root与header区分开
root() = 0;
leftmost() = header;
//header的左子节点为自己
rightmost() = header;
//header的右子节点为自己
}
4.关于header设计，主要是简化到边界特殊情况的处理，在上述已经详细解析了，这里就不再重提了
改变节点颜色、左旋和右旋，我们也知道在插入新元素时会导致RB-tree失去平衡，那么我们应该怎样合适的应用这三种方式来使RB-tree恢复平衡呢？现在就让我们来一起解析吧！- 先来了解一下RB-tree提供的两种插入操作：
insert_unique()、insert_equal()
insert_unique():表示被插入的键值在整棵树中必须独一无二
insert_equal():表示被插入节点的键值在整棵树中可以重复
- insert_unique():
// 此插入函数不允许重复
// 返回的是一个pair，第一个元素为红黑树的迭代器，指向新增节点
// 第二个元素表示插入操作是否成功的
template
pair::iterator , bool>
rb_tree::insert_unique(const Value &v)
{
rb_tree_node* y = header;
// 根节点root的父节点
rb_tree_node* x = root();
// 从根节点开始
bool comp = true;
while(x != 0)
{
y = x;
comp = key_compare(KeyOfValue()(v) , key(x));
// v键值小于目前节点之键值？
x = comp ? left(x) : right(x);
// 遇“大”则往左，遇“小于或等于”则往右
}
// 离开while循环之后，y所指即插入点之父节点（此时的它必为叶节点）
iterator j = iterator(y);
// 令迭代器j指向插入点之父节点y
if(comp)// 如果离开while循环时comp为真（表示遇“大”，将插入于左侧）
{
if(j == begin())// 如果插入点之父节点为最左节点
return pair(_insert(x , y , z) , true);
// 调用_insert函数
else// 否则（插入点之父节点不为最左节点）
--j;
// 调整j，回头准备测试
}
if(key_compare(key(j.node) , KeyOfValue()(v) ))
// 新键值不与既有节点之键值重复，于是以下执行安插操作
return pair(_insert(x , y , z) , true);
// 以上，x为新值插入点，y为插入点之父节点，v为新值// 进行至此，表示新值一定与树中键值重复，那么就不应该插入新值
return pair(j , false);
}
- insert_equal():
//插入新值：节点键值允许重复
//返回值是一个RB-tree迭代器，指向新增节点
template
pair::iterator , bool>
rb_tree::insert_equal(const Value &v)
{
link_type y = header;
link_type x = root();
//从根节点开始
while (x != 0) {//从根节点开始，往下寻找合适的插入点
y= x;
x = key_compare(KeyOfValue()(v), key(x)) ? left(x): right(x);
//以上，遇“大”则往左，遇“小于或等于”则往右
}
return _insert(x, y, v);
// 以上，x为新值插入点，y为插入点之父节点，v为新值
}
- 观察上述，无论是哪一种插入方式，最终都需要调用__insert()函数,这个函数才是真正的插入函数：
// 真正地插入执行程序 _insert()
// 返回新插入节点的迭代器
template
typename::_insert(base_ptr x_ , base_ptr y_ , const Value &v)
{
// 参数x_ 为新值插入点，参数y_为插入点之父节点，参数v为新值
link_type x = (link_type) x_;
link_type y = (link_type) y_;
link_type z;
// key_compare 是键值大小比较准则。应该会是个function object
if(y == header || x != 0 || key_compare(KeyOfValue()(v) , key(y) ))
{
z = create_node(v);
// 产生一个新节点
left(y) = z;
// 这使得当y即为header时，leftmost() = z
if(y == header)
{
root() = z;
rightmost() = z;
}
else if(y == leftmost())// 如果y为最左节点
leftmost() = z;
// 维护leftmost()，使它永远指向最左节点
}
else
{
z = create_node(v);
// 产生一个新节点
right(y) = z;
// 令新节点成为插入点之父节点y的右子节点
if(y == rightmost())
rightmost() = z;
// 维护rightmost()，使它永远指向最右节点
}
parent(z) = y;
// 设定新节点的父节点
left(z) = 0;
// 设定新节点的左子节点
right(z) = 0;
// 设定新节点的右子节点
// 新节点的颜色将在_rb_tree_rebalance()设定（并调整）
_rb_tree_rebalance(z , header->parent);
// 参数一为新增节点，参数二为根节点root
++node_count;
// 节点数累加
return iterator(z);
// 返回一个迭代器，指向新增节点
}
- 在将节点插入到RB-tree中后，需要调整RB-tree使之恢复平衡，调用_rb_tree_rebalance()函数：
// 全局函数
// 重新令树形平衡（改变颜色及旋转树形）
// 参数一为新增节点，参数二为根节点root
inline void _rb_tree_rebalance(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
x->color = _rb_tree_red;
//新节点必为红
while(x != root && x->parent->color == _rb_tree_red)// 父节点为红
{
if(x->parent == x->parent->parent->left)// 父节点为祖父节点之左子节点
{
_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->right;
// 令y为伯父节点
if(y && y->color == _rb_tree_red)// 伯父节点存在，且为红
{
x->parent->color = _rb_tree_black;
// 更改父节点为黑色
y->color = _rb_tree_black;
// 更改伯父节点为黑色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
// 更改祖父节点为红色
x = x->parent->parent;
}
else// 无伯父节点，或伯父节点为黑色
{
if(x == x->parent->right)// 如果新节点为父节点之右子节点
{
x = x->parent;
_rb_tree_rotate_left(x , root);
// 第一个参数为左旋点
}
x->parent->color = _rb_tree_black;
// 改变颜色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
_rb_tree_rotate_right(x->parent->parent , root);
// 第一个参数为右旋点
}
}
else// 父节点为祖父节点之右子节点
{
_rb_tree_node_base* y = x->parent->parent->left;
// 令y为伯父节点
if(y && y->color == _rb_tree_red)// 有伯父节点，且为红
{
x->parent->color = _rb_tree_black;
// 更改父节点为黑色
y->color = _rb_tree_black;
// 更改伯父节点为黑色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
// 更改祖父节点为红色
x = x->parent->parent;
// 准备继续往上层检查
}
else// 无伯父节点，或伯父节点为黑色
{
if(x == x->parent->left)// 如果新节点为父节点之左子节点
{
x = x->parent;
_rb_tree_rotate_right(x , root);
// 第一个参数为右旋点
}
x->parent->color = _rb_tree_black;
// 改变颜色
x->parent->parent->color = _rb_tree_red;
_rb_tree_rotate_left(x->parent->parent , root);
// 第一个参数为左旋点
}
}
}//while
root->color = _rb_tree_black;
// 根节点永远为黑色
}
// 左旋函数
inline void _rb_tree_rotate_left(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
// x 为旋转点
_rb_tree_node_base* y = x->right;
// 令y为旋转点的右子节点
x->right = y->left;
if(y->left != 0)
y->left->parent = x;
// 别忘了回马枪设定父节点
y->parent = x->parent;
// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
if(x == root)// x为根节点
root = y;
else if(x == x->parent->left)// x为其父节点的左子节点
x->parent->left = y;
else// x为其父节点的右子节点
x->parent->right = y;
y->left = x;
x->parent = y;
}
// 右旋函数
inline void _rb_tree_rotate_right(_rb_tree_node_base* x , _rb_tree_node_base*& root)
{
// x 为旋转点
_rb_tree_node_base* y = x->left;
// 令y为旋转点的左子节点
x->left = y->right;
if(y->right != 0)
y->right->parent = x;
// 别忘了回马枪设定父节点
y->parent = x->parent;
// 令y完全顶替x的地位（必须将x对其父节点的关系完全接收过来）
if(x == root)
root = y;
else if(x == x->parent->right)// x为其父节点的右子节点
x->parent->right = y;
else// x为其父节点的左子节点
x->parent->left = y;
y->right = x;
x->parent = y;
}
在上述我们看到了在何种情况下应该只改变节点颜色，而在何种情况下应该通过左旋、右旋来使RB-tree修正，保持平衡
5.2 搜寻元素
- 对于一个二叉搜索树而言，搜寻元素对于其而言可以称之简单，下面是寻找RB-tree中是否有键值为k的节点：
// 寻找RBTree中是否存在键值为k的节点
template
typename rb_tree::iterator
rb_tree::find(const Key& k) {
link_type y = header;
// Last node which is not less than k.
link_type x = root();
// Current node. while (x != 0)
// key_compare是节点键值大小比较函数
if (!key_compare(key(x), k))
// 如果节点x的键值大于k，则继续往左子树查找
y = x, x = left(x);
//
else
// 如果节点x的键值小于k，则继续往右子树查找
x = right(x);
iterator j = iterator(y);
// y的键值不小于k，返回的时候需要判断与k是相等还是小于
return (j == end() || key_compare(k, key(j.node))) ? end() : j;
}
6. 总结 关于RB-tree，就解析到这里了，RB-tree作为一种基础的数据结构，我们应该将其掌握，这个掌握不是你今天掌握了而明天又忘了，而是当你回想起RB-tree时你的大脑要像条件反射一样回顾起关于RB-tree的种种，要做到这一点有难度，所以就要求我们时常温故；作为map及set的底层数据结构，RB-tree的重要性不言而喻，而且面试时几乎是必考题，所以掌握RB-tree会受益匪浅
本文解析RB-tree可能略有粗糙，想要了解更多可以参考以下两位大佬的博客：
- ZeeCoder的博客：带你深入理解STL之RBTree
- eson_15的博客：【数据结构和算法05】 红-黑树（看完包懂~）
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