离散数学|-离散数学-期末练习题解析离散数学|期末练习

- 一、选择题
- 二. 填空题
- 三、计算题
- 四、简答题
- 五、证明题
- 六、应用题

一、选择题

下列句子中，（）是命题。
A . 2是常数
B. 这朵花多好看啊！
C. 请把们关上！
D. 下午有会吗？

A
命题是能判断真假的陈述句
B是感叹句、C是祈使句，D是疑问句

令p:今天下雪了，q:路滑，r：他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了”可符号化为（）
A. p∧q→r
B. p∨q→r
C. p∧q∧r
D. p∨q?r

A
运算优先级为?，∧， ∨，→，?，
A可看成 (p∧q)→r

令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可以符号化为（）
A. p∧?q
B. p∧q
C. p∨?q
D. p→?q

A

设P(x):x是鸟，Q(x):x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（ )
A. ?(?x) ( p(x) →Q(x) )
B. ?(?x) ( p(x) ∧ Q(x) )
C. ?(?x) ( p(x) →Q(x) )
D. ?(?x) ( p(x) ∧ Q(x) )

A
有的鸟不会飞，即可译为不是所有鸟都会飞
在全称量词?后面用→联接词
在存在连词?后面用 ∧ 联接词

设p(x):x是整数，f(x):x的绝对值，L(x,y):x大于等于y；命题“所有整数的绝对值大于等于0”可以符号为（）
A. ?x( p(x) ∧ L(f(x),0) )
B. ?x( p(x)→L(f(x),0) )
C. ?xp(x) ∧ L(f(x),0)
D. ?xp(x)→L(f(x),0)

B
所有整数的绝对值大于等于0，用到的为全称量词?，整个命题应该是同一个x，在全称量词?后面用→联接词，所以整个命题可符号为?x( p(x)→L(f(x),0) )

设F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号为（）
A. ?x( F(x) ∧ G(x) )
B. ??x( F(x) →?G(x) )
C. ??x( F(x) ∧ G(x) )
D. ??x( F(x) ∧ ?G(x) )

D
A和B的联接词使用错误
D，不存在人不犯错误

下列命题公式不是永真式的是（ A ）
A. (p→q)→p
B. p→(q→p)
C. ?p∨(q→p)
D. (p→q)∨p

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设R(x):x为有理数; Q(x):x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为 ( C )
A.(彐x) ( (R(x)∧Q(x) )
B.(?x)( (R(x)∧Q(x) )
C.(?x)( (R(x)→Q(x) )
D.彐x( R(x)→Q(x) )
设个体域D={a,b},与公式?xA(x)等价的命题公式是 ( A )
A. A(a)∧A(b)
B. A(a)→A(b)
C. A(a) ∨ A(b)
D. A(b)→A(a)

已知个体域，消去量词，?xA(x)中有全称量词，则把所有x的取值全列出来
应该为A(a)∧A(b)

下列等价式不正确的是( A )
A. ?x( (P(x) ∨ Q(x) ) ? ?xP(x) ∨ ?xQ(x)
B. ?x(P(x) ∧ Q(x)) ? ?xP(x) ∧ ?xQ(x)
C. ?x(P(x) ∨ Q(x) ) ? ?xP(x) ∨ ?xQ(x)
D. ?x(P(x)∧Q) ? ?xP(x)∧Q

A
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设个体域D={a,b},与公式彐xA(x)等价的命题公式是( C )
A.A(a) ∧A(b
B.A(a)→A(b)
C. A(a) ∨ A(b)
A(b)→A(a)
设X={?,{a}{a,?}},则下列陈述正确的是(
A. a∈X
B. {a,?}?X
C. {{a,?}}?X
D. {?}∈X

C
元素与集合的关系用属于
集合与集合的关系用包含
A中用的是属于，但a不是X的元素，因为需要把整个集合{a}看成X的一个元素
B用的是属于，说明得把{a,?}看成一个集合，a和?都得是X的元素，a不是X的元素，所以不正确，也可解释作{a,?}只是X的一个元素，并不是指一个集合
C正确，有两重括号，第一个括号内的{a,?}就是X的一个元素，{{a,?}}就是X的一个子集
D中用的是属于，说明整个{?}被看成是一个元素，但X中只有?而没有{?}

有向图D是连通图,当且仅当( D ）
A. 图D中至少有一条通路
B. 图D中有通过每个顶点至少一次的通路
C. 图D的连通分支数为一
D. 图D中有通过每个顶点至少一次的回路

D
这里的连通图应该指的是强连通图
对C要特别注意一下，有第一章的命题逻辑我们知道“当且仅当”指的是充要条件，连通图的连通分支数确实为一，但连通分支数为一的并不代表是连通图，所以C是错的

设A={a,b,c},则下列是集合A的划分的是 ( B)
A. {{b,c},{c}}
B. {{a},{b,c}}
C. {{a,b},{a,c}}
D. {{a,b},c}

B

我们可以知道π是一个子集族，里面都应该是子集，D错误
然后每个子集不能有重复的元素，AC错误

下列谓词公式中是前束范式的是( D )
A. ?xF(x)∧?(?x)G?
B. ?xP(x) ∧ ?yG( y)
C. ?x(P(x)→?yQ(x,y)
D. ?x?y(P(x)→Q(x,y))

D
前束范式就是所有的量词都在前面

设M={x | f1(x)=0},N={x | f2(x)=0},则方程f1(x)*f2(x)=0的解为（ B　）　
A. M∩N
B. M∪N
C. M⊕N
C. M-N

f1(x)*f2(x)=0只有=要有一个为0 其结果就为0
显然是M和N的并集

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在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构，包括阿贝尔群、同态和共轭类。
设G是一个群，则

G满足消去律（左消去和右消去），即?a,b,c∈G,若ab=ac,则b = c

任意一个元素的逆元的逆元是其本身,A 正确

(ab)^-1 = b ^-1 * a ^-1, C错误
其余请看群的详细介绍

在整数集合Z上，下列定义的运算满足结合律的是（）
A. ab=b+1
B. ab=a-1
C. ab=ab-1
D. ab=a+b+1

D
如果满足结合律，则(a*b)*c=a*(b*c)

设简单图G所有的结点的度数之和为50，则G的边数为（）
A. 50
B. 25
C. 10
D. 5

B
既不含平行边也不含环的图为简单图
由握手定理：度数之和为变数的2倍，变数为25

设简单无向图G是一个有5个顶点的4-正则图，则G有（）条边。
A. 4
B. 5
C. 10
D. 20

C
正则图是指各顶点的度均相同的无向简单图
有题意，度数之和为5*4=20，边数=20 / 2 = 10

设集合A={1，2，3，4}，A上的等价关系R= {<1,1>, <.3,2>,<2,3>,<4,4>} U IA (恒等关系),则对应于R的划分是（）
A. { {1}，{2，3}，{4} }
B. { {1，3}，{2，4} }
C. { {1，3}，{2}，{4} }
D. { {1}，{2}，{3}，{4} }

A
IA表示恒等关系，设A={a,b,c}，则其上关系R={,,}，R便是恒等关系
本题中IA中应该是补齐<2,2><3,3>，2和3应该被分到了另外一块，应该选A

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D
在数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的元素，则该集合被称为在这个运算下闭合。
比较最大数，得到的结果还是在A中
比较最小数，结果还是在A中
最大公约数，1和10的最大公约数为1，L为任意数字，与其他的数求最大公约数，都可以在1，2，10，L中取得
若L为3，3和10 的最小公倍数为30，不在A中，D不是封闭的