646. 最长数对链 : 常规贪心 DP 运用题后端

题目描述这是 LeetCode 上的 646. 最长数对链，难度为中等。
Tag : 「贪心」、「排序」、「二分」、「序列 DP」、「LIS」
给出 n 个数对。在每一个数对中，第一个数字总是比第二个数字小。
现在，我们定义一种跟随关系，当且仅当 b < c 时，数对 $(c, d)$ 才可以跟在 $(a, b)$ 后面。我们用这种形式来构造一个数对链。
给定一个数对集合，找出能够形成的最长数对链的长度。你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。
示例：

输入：[[1,2], [2,3], [3,4]]输出：2解释：最长的数对链是 [1,2] -> [3,4]

提示：

给出数对的个数在 $[1, 1000]$ 范围内。

排序 + 贪心 DP（转移剪枝）起始先将 pairs 根据第一维排升序（或直接双关键字排升序）。
考虑定义 $f[i]$ 为以 $pairs[i]$ 为结尾的最长数对链长度，所有 $f[i]$ 中的最大值为答案。
不失一般性考虑 $f[i]$ 该如何转移：不难发现 $f[i]$ 为所有满足「下标范围在 $[0, i - 1]$，且 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$」条件的 $f[j] + 1$ 的最大值。
但实际上，我们只需要从 $j = i - 1$ 开始往回找，找到第一个满足 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$ 的位置 $j$ 即可。
【646. 最长数对链 : 常规贪心 DP 运用题】容易证明该做法的正确性：假设贪心解（该做法）找到的位置 $j$ 不是最优位置，即存在比 $j$ 更小的合法下标 $j'$ 满足 $f[j'] > f[j]$。根据我们的排序规则必然有 $pairs[j'][0] <= pairs[j][0]$ 的性质，则可知 $pairs[j]$ 必然可以代替 $pairs[j']$ 接在原本以 $pairs[j']$ 为结尾的最优数链上（最优数链长度不变，结果不会变差），则至少有 $f[j'] = f[j]$。
代码：

class Solution { public int findLongestChain(int[][] pairs) { Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]); int n = pairs.length, ans = 1; int[] f = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { f[i] = 1; for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) { if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1; } ans = Math.max(ans, f[i]); } return ans; } }

时间复杂度：排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；不考虑剪枝效果 DP 复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$
空间复杂度：$O(n)$

排序 + 贪心 DP（优化转移）根据上述分析，我们知道对于一个特定的 $pairs[i]$ 而言，其所有合法（满足条件 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$）的前驱状态 $f[j]$ 必然是非单调递增的。
根据 LIS 问题的贪心解的思路，我们可以额外使用一个数组记录下特定长度数链的最小结尾值，从而实现二分找前驱状态。
具体的，创建 $g$ 数组，其中 $g[len] = x$ 代表数链长度为 $len$ 时结尾元素的第二维最小值为 $x$。
如此一来，当我们要找 $f[i]$ 的前驱状态时，等价于在 $g$ 数组中找满足「小于 $pairs[i][0]$」的最大下标。同时，我们不再需要显式维护 $f$ 数组，只需要边转移变更新答案即可。

不了解 LIS 问题的同学可以看前置 : LCS 问题与 LIS 问题的相互关系，以及 LIS 问题的最优解证明

代码：

class Solution { public int findLongestChain(int[][] pairs) { Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]); int n = pairs.length, ans = 1; int[] g = new int[n + 10]; Arrays.fill(g, 0x3f3f3f3f); for (int i = 0; i < n; i++) { int l = 1, r = i + 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid; else l = mid + 1; } g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]); ans = Math.max(ans, r); } return ans; } }

时间复杂度：排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；DP 复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
空间复杂度：$O(n)$

最后这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.646 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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