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代数式|已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值

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已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值

主要内容：
本文通过不等式法、三角函数代换法和函数导数法，介绍代数式1+(x^2+1)/x的最小值求解的具体步骤。
代数式|已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值
文章插图

不等式法：
∵1+(x^2+1)/x
=1+x+1/x,又因为x为正数，
∴1+(x^2+1)/x
≥1+2√(x*1/x)=3。
即代数式的最小值等于3。

三角函数代换法
设x=1tant,t∈(0,π/2),则：
代数式
=1+[1(tant)^2+1]/(1tant)
=1+1(sect)^2/tant
=1+1/(sintcost)
=1+2/sin2t。
则当sin2t=1时，
代数式的最小值等于3。

代数式|已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值
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导数计算法：
【 代数式|已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值】∵y=1+(x^2+1)/x,
∴y＇=(2x^2-x^2-1)/x^2
=(x^2-1)/x^2。
令y＇=0,则x^2=1,x=1，负值舍去。
(1)当x∈(0, 1]时，y＇<0，此时函数y为减函数；
(2)当x∈(1,+∞)时，y＇>0，此时函数y为增函数。
所以，当x=1时，函数y有最小值。
即代数式的最小值
=1+2

=3。
代数式|已知x＞0，求1+(x^2+1)/x的最小值
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