数学|成考数学一-极限与连续-集合与函数数学|成考学习|高数

集合的概念和基本运算 ??集合是指由一些确定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素。

数集	自然数集	正整数集	整数集	有理数集	实数集
符号	N	N*或N+	Z	Q	R

元素与集合的关系
一般地，集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
若元素在集合 A 中，就说属于 A，记为∈ A；否则就说不属于 A，记为 ? A。
包含有限个元素的集合叫做有限集
包含无限个元素的集合叫做无限集
不包含任何元素的集合叫做空集，记为?。
集合中元素的三个特性
确定性、互异性、无序性
集合与集合的关系
若集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，则说 A 包含于 B 或 B 包含 A，也说 A 是 B 的子集，记作 A ? B A \subseteq B A?B 或者B ? A B \supseteq A B?A。
若集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，且存在元素 a ∈ B a \in B a∈B 但a ∈? A a \not\in A a?∈A,A是B的真子集，记作 A ? B A \subsetneqq B A?B 或者B ? A B \supsetneqq A B?A。
若 A ? B A \subseteq B A?B ，且B ? A B \supseteq A B?A，就称集合 A 与 B 相等，记作A ＝ B A＝B A＝B。
集合的表示方法：列举法、描述法
(1)列举法：适用有限集
??例如： A = { 0 , 1 , 2 } A=\{0,1,2\} A={0,1,2}
(2)描述法：适用无限集和有限集
??例如： A = { ( x , y ) ∣ 2 x + y = 1 } A=\{(x, y)|2x + y = 1\} A={(x,y)∣2x+y=1}B = { x ∣ x < 6 , x ∈ N } B= \{x|x < 6, x \in N \} B={x∣x<6,x∈N}
闭区间： [ a , b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b , x ∈ R } [a, b]=\{x|a ≤ x ≤ b,x \in R\} [a,b]={x∣a≤x≤b,x∈R}
开区间： ( a , b ) = { x ∣ a < x < b , x ∈ R } (a, b)=\{x|a < x < b, x \in R\} (a,b)={x∣a 半开半闭区间： [ a , b ) = { x ∣ a ≤ x < b , x ∈ R } [ a , + ∞ ) = { x ∣ x ≥ a , x ∈ R } [a, b)=\{x|a ≤ x < b, x \in R\} [a, +∞)=\{x|x ≥ a, x \in R\} [a,b)={x∣a≤x
集合之间的运算
A，B 为两个已知集合
交集： { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } \{x|x \in A 且 x \in B\} {x∣x∈A且x∈B}称为 A 和 B 的交集，记为A ∩ B A \cap B A∩B.
并集： { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } \{x|x \in A 或 x \in B\} {x∣x∈A或x∈B}称为 A 和 B 的并集，记为A ∪ B A \cup B A∪B.
余集（差集）： { x ∣ x ∈ A 但 x ∈? B } \{x|x \in A 但x \not\in B\} {x∣x∈A但x?∈B}称为 B 在 A 中的余集（差集），记为A ? B A-B A?B
补集：全集U，若 A ? U A \subseteq U A?U，由全集U中不属于集合A的元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，记作 C U A = { x ∣ x ∈ U 且 x ∈? A } C_UA = \{x|x \in U 且 x \not\in A\} CU?A={x∣x∈U且x?∈A}
集合的性质
任何一个集合都是本身的子集，即 A ? A A \subseteq A A?A
对于集合A,B,C，若 A ? B A \subseteq B A?B ，且 B ? C B \subseteq C B?C ，则有 A ? C A \subseteq C A?C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
若一个集合中含有n个元素，则其子集个数为 2 n 2^n 2n个，非空子集个数为 2 n ? 1 2^n-1 2n?1个，真子集个数为 2 n ? 1 2^n-1 2n?1个(除去集合本身)，非空真子集个数为 2 n ? 2 2^n-2 2n?2个(除去集合本身和空集，此时 n ∈ N ? n \in N^* n∈N?)

函数概念

定义：设 D 是一个非空实数集，是定义在 D 上的一个对应关系，若对于任意的实数 x ∈ D x \in D x∈D，都有唯一的实数 y ∈ R y \in R y∈R 通过与之对应，则称是定义在 D 上的一个函数，记作 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x), x \in D y=f(x),x∈D即是的函数，称为自变量，称为因变量。D 叫做这个函数的定义域(D)，所有函数值构成的集合 { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } \{y|y = f(x),x \in D\} {y∣y=f(x),x∈D} 成为函数的值域
函数的表示方法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.
函数的三要素：定义域、对应法则、值域.
当两个函数的定义域和对应法则相同时，我们说这两个函数相同.
隐函数的定义
由变量,满足的方程确定的函数=()称为隐函数. (即一个函数=()，隐含在给定方程）x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x2+y2=1

函数的图形

函数图形的概念
函数 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x \in D y=f(x),x∈D的图形是指在xOy平面上的点集
{ ( x , y ) ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } \{(x,y)|y=f(x),x \in D\} {(x,y)∣y=f(x),x∈D}
常见的几个幂函数的图形： ( y = x a , a 为常数 ) (y=x^a,a为常数) (y=xa,a为常数)

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函数的性质
(1)有界性
函数()， x ∈ D x \in D x∈D，若存在两个实数 m 和满足条件：
对 D 中所有的都有不等式m ≤ f ( x ) ≤ M 或 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M ( M < 0 ) m \leq f(x) \leq M或|f(x)| \leq M(M \lt 0) m≤f(x)≤M或∣f(x)∣≤M(M<0)，则称函数()在 D 上是有界函数，m
叫作 f ( x ) f(x) f(x)的下界，M叫作 f ( x ) f(x) f(x)的上界.
如果对于任意 M > 0 M \gt 0 M>0，在 D 中均存在x，使得 ∣ f ( x ) ∣ > M |f(x)| \gt M ∣f(x)∣>M，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 D 上是无界函数.
(2)奇偶性
设 D 关于原点对称（前提）
设函数()在区间 D 上有定义，而且 D 关于坐标原点对称.如果对于任意的 x ∈ D x \in D x∈D，有f ( ? x ) ＝ f ( x ) f(-x)＝f(x) f(?x)＝f(x)，则称f ( x ) f(x) f(x)是区间 D 上的偶函数；
如果对于 x ∈ D x \in D x∈D，有f ( ? x ) ＝ ? f ( x ) f(-x)＝-f(x) f(?x)＝?f(x)，则称 f ( x ) f(x) f(x)是区间 D 上的奇函数.
(3)单调性
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 D 上有定义，若对于任意 x 1 , x 2 ∈ D 且 x 1 < x 2 x_1,x_2 \in D 且x_1 \lt x_2 x1?,x2?∈D且x1?f ( x ) f(x) f(x) 在区间 D 上是单调增加，称 f ( x ) f(x) f(x)是 D 上的单调增加函数，称 D 是函数 f ( x ) f(x) f(x)的单调增加区间.
同理，可以定义单调减少函数和单调减少区间.
(4)周期性
对于函数 f ( x ) f(x) f(x)，如果存在一个不为零的正数，使得对于定义域中的任何值， x ± l x \pm l x±l 仍在定义域内，
且关系式：f ( x + l ) = f ( x ) f(x + l) = f(x) f(x+l)=f(x)恒成立，则 f ( x ) f(x) f(x)成为周期函数，l l l为 f ( x ) f(x) f(x)的周期。
周期函数的周期是指最小正周期。
(5)幂函数的性质 ( y = x a , a 为常数 ) (y = x^a,a为常数) (y=xa,a为常数)
性质：
①对任意实数α，曲线 y = x α y = xα y=xα都通过平面上的点（1，1）；
② α > 0 α \gt 0 α>0 时， y = x α y = xα y=xα在 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)单调增加； α < 0 α \lt 0 α<0时， y = x α y = xα y=xα在 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)单调减少；
③α为偶数时， y = x α y = xα y=xα为偶函数；α为奇数时， y = x α y = xα y=xα为奇函数；
④α为正整数时， y = x α y = xα y=xα的定义域是 ( ? ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (?∞,+∞)；
α为负整数时， y = x α y = xα y=xα的定义域是 ( ? ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) (-\infty,0) \cup (0,+\infty) (?∞,0)∪(0,+∞).
分段函数
分段函数指在自变量的不同变化范围中，对应关系用不同的式子来表示的函数.
例如：符号函数
y = s g n ( x ) = { 1 , x > 0 0 , x = 0 ? 1 , x < 0 y = sgn(x) = \begin{cases} 1, x \gt 0\\ 0, x=0 \\ -1,x \lt 0 \end{cases} y=sgn(x)=??????1,x>00,x=0?1,x<0?
称为符号函数；函数 y = [ x ] y =[x] y=[x] 称为取整函数，([x]的值是不
大于x的最大整数）
三角函数

(1)正弦函数 y = s i n x y =sinx y=sinx (奇函数， x ∈ R , y ∈ [ ? 1 , 1 ] x \in R,y \in [-1,1] x∈R,y∈[?1,1] )

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(2)余弦函数 y = c o s x y =cosx y=cosx(偶函数， x ∈ R , y ∈ [ ? 1 , 1 ] x \in R,y \in [-1,1] x∈R,y∈[?1,1] )

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(3)正切函数y = t a n x y = tanx y=tanx(奇函数， x ∈ { x ∣ x ∈ R , x ≠ k π + π 2 } k 是整数 , y ∈ R x \in \{x|x \in R,x \neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}\} k是整数, y \in R x∈{x∣x∈R,x?=kπ+2π?}k是整数,y∈R)

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(4)余切函数y = c o t x y = cotx y=cotx (奇函数， x ∈ { x ∣ x ∈ R , x ≠ k π } k 是整数 , y ∈ R x \in \{x|x \in R,x \neq k\pi\} k是整数, y \in R x∈{x∣x∈R,x?=kπ}k是整数,y∈R)

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三角函数的值

α \alpha α	s i n α sin\alpha sinα	c o s α cos\alpha cosα	t a n α tan\alpha tanα	c o t α cot\alpha cotα
0	0	1	0	∞ \infty ∞
π 6 \dfrac{\pi}{6} 6π?	1 2 \dfrac{1}{2} 21?	3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 23 ??	3 3 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 33 ??	3 \sqrt{3} 3 ?
π 4 \dfrac{\pi}{4} 4π?	2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 22 ??	2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 22 ??	1	1
π 3 \dfrac{\pi}{3} 3π?	3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 23 ??	1 2 \dfrac{1}{2} 21?	3 \sqrt{3} 3 ?	3 3 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 33 ??
π 2 \dfrac{\pi}{2} 2π?	1	0	∞ \infty ∞	0

周期函数
设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 R.若存在正数 T > 0 T \gt 0 T>0，使得对任意的 x ∈ R x \in R x∈R 都有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T) = f(x) f(x+T)=f(x)，则称 f ( x ) f(x) f(x)是一个周期函数，T 称为 f ( x ) f(x) f(x)的周期.
如果 T 是函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个周期，则 2T,3T 等也是 f ( x ) f(x) f(x)的周期，一般说的周期指最小正周期.
指数函数
函数 y = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^x(a \gt 0,a \neq 1) y=ax(a>0,a?=1)称为以为底的指数函数，常用的是以无理数为底的指数函数 y = e x , x ∈ ( ? ∞ , + ∞ ) , y ∈ ( 0 , + ∞ ) y=e^x, x\in (-\infty,+\infty),y \in (0,+\infty) y=ex,x∈(?∞,+∞),y∈(0,+∞)
当 a > 1 a \gt 1 a>1 时，单增；当 0 < a < 1 0 \lt a \lt 1 0 常见的指数函数图形

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【数学|成考数学一-极限与连续-集合与函数】指数函数的基本运算规则
a x a y = a x + y a^xa^y=a^{x+y} axay=ax+y? ( a x ) y = a x y (a^x)^y=a^{xy} (ax)y=axy? a x b x = ( a b ) x a^xb^x=(ab)^x axbx=(ab)x? a 0 = 1 a^0 =1 a0=1? a ? x = 1 a x a^{-x}=\dfrac{1}{a^x} a?x=ax1?

反函数

含义：设 f ( x ) f(x) f(x)是定义在 D 上的一一对应函数，值域为 Z，若对应关系使得对任意的 y ∈ Z y \in Z y∈Z，都有
唯一的 x ∈ D x \in D x∈D 与之对应，且 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y ，则称是的反函数。反函数也记作 x = g ( y ) = f ? 1 ( y ) x=g(y)=f^{-1}(y) x=g(y)=f?1(y)。
函数的定义域和值域分别与其反函数的值域和定义域一致。判断g与是否互为反函数，就是要判断 f ( g ( y ) ) = y 或 g ( f ( x ) ) = x f(g(y))=y 或g(f(x))=x f(g(y))=y或g(f(x))=x是否成立。
y = f ( x ) 与 y = f ? 1 ( x ) y=f(x) 与y=f^{-1}(x) y=f(x)与y=f?1(x)的图形关于直线 y = x y=x y=x对称

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反三角函数
对于正弦函数 y = s i n x y=sinx y=sinx，给定一个x，有唯一一个正弦值与其对应，如 s i n π 6 = 1 2 sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} sin6π?=21?。
反过来，正弦值为 1 2 \dfrac{1}{2} 21?的角却不止一个。但将角的范围限定在 [ ? π 2 , π 2 ] [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] [?2π?,2π?]时，给定一个正弦值 y 0 y_0 y0?，就会有唯
一的角 x 0 ∈ [ ? π 2 , π 2 ] x_0 \in [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] x0?∈[?2π?,2π?]，使得 s i n x 0 = y 0 sinx_0 = y_0 sinx0?=y0?。
反三角函数的定义域与值域
（1）反正弦函数 y = a r c s i n x y=arcsinx y=arcsinx的定义域为 [ ? 1 , 1 ] [-1,1] [?1,1]，值域为 [ ? π 2 , π 2 ] [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] [?2π?,2π?].

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（2）反余弦函数 y = a r c c o s x y=arccosx y=arccosx的定义域为 [ ? 1 , 1 ] [-1,1] [?1,1]，值域为 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π].

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（3）反正切函数 y = a r c t a n x y=arctanx y=arctanx的定义域为 ( ? ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (?∞,+∞)，值域为 ( ? π 2 , π 2 ) (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}) (?2π?,2π?)

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对数函数
定义：当 a > 0 且 a ≠ 1 a \gt 0 且 a\neq1 a>0且a?=1时，指数函数 y = a x y=a^x y=ax在其定义域 ( ? ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (?∞,+∞)内单调，因此它是一个一一对应得函数,于是存在反函数。
函数 y = a x y=a^x y=ax的反函数称为以a为底的对数函数，记作 y = l o g a x y=log_ax y=loga?x，其定义域是 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)，值域是 ( ? ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (?∞,+∞)。
对数函数一般性质：
常用对数： y = l g x y=lgx y=lgx（以 10 为底）
自然对数： y = l n x y=lnx y=lnx （以 e 为底）
当 a > 1 a \gt 1 a>1时， y = l o g a x y=log_ax y=loga?x在定义域内单调递增；
当 0 < a < 1 0 \lt a \lt 1 0 对数的运算规则
设a,b,x,y都是大于零的实数，则：
l o g a ( x y ) = l o g a x + l o g a y log_a(xy)=log_ax+log_ay loga?(xy)=loga?x+loga?y
l o g a x y = l o g a x ? l o g a y log_a\dfrac{x}{y}=log_ax-log_ay loga?yx?=loga?x?loga?y
l o g a x r = r l o g a x log_ax^r=rlog_ax loga?xr=rloga?x
l o g a x = l o g b x l o g b a log_ax=\dfrac{log_bx}{log_ba} loga?x=logb?alogb?x?
l o g a a = 1 log_aa=1 loga?a=1
l o g a 1 = 0 log_a1=0 loga?1=0
函数运算
函数的四则运算
(1)加法运算( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x ∈ D (f+g)(x)=f(x)+g(x),x \in D (f+g)(x)=f(x)+g(x),x∈D.
(2)数乘运算( k f ) ( x ) = k f ( x ) , x ∈ D (kf)(x)=kf(x),x \in D (kf)(x)=kf(x),x∈D.
(3)乘法运算( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ D (fg)(x)=f(x)g(x),x \in D (fg)(x)=f(x)g(x),x∈D .
(4)除法运算( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , g ( x ) ≠ 0 , x ∈ D (\dfrac{f}{g})(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},g(x) \neq 0,x \in D (gf?)(x)=g(x)f(x)?,g(x)?=0,x∈D .
其中等号左端括号表示对两个函数,进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值。
符合函数与初等函数
复合函数：复合函数：设y是u的函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)，u是x的函数 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)，如果 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)的值域完全或部分包含在 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域中，则y是通过中间变量 u构成x的函数，称为x的复合函数，记作 y = f ( φ ( x ) ) y=f(\varphi(x)) y=f(φ(x))。其中x是自变量，u是中间变量。
基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数。
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数.