学习杂记|【杂文随笔1】学习笔记（含欧氏空间、范数、李群与李代数、单满双射、矩阵求导等）几何学|其他|线性代数

文章目录

前言
一、欧几里得空间（欧氏空间）
二、范数
- 1. 定义1
- 2. 定义2
三、李群与李代数
四、单、满、双射
五、矩阵的求导
六、齐次坐标
七、尺寸不变性、旋转不变性
八、句柄（Handle）

前言学习路上的一些个人疑惑与概念的记录，若有错误，请各位dalao指点一二。
一、欧几里得空间（欧氏空间）

学习杂记|【杂文随笔1】学习笔记（含欧氏空间、范数、李群与李代数、单满双射、矩阵求导等）

文章图片

一句话：
欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）。
简单来说，如果不是数学专业学生，那么**平常我们生活、思考、做题的时候用到的空间都是欧式空间。**当接触到非欧空间的时候，才会去区分欧式空间和非欧空间。
（Reference：知乎：“如何通俗地解释欧氏空间？”中@恒仔、@白如冰、@周欣宇的回答）
由此可得，坐标系变换、旋转矩阵、变换矩阵等均属于欧式变换。
二、范数 1. 定义1 范数，是具有“长度”概念的函数。
在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
(Reference：百度百科)
2. 定义2 一般将任意向量x的lp -范数定义为：

文章图片

文章图片

简而言之，
给定向量 x = （x1, x2, x3, … xn）
L1范数：向量各个元素绝对值之和，
L2范数：向量各个元素绝对值平方求和然后平方根，
Lp范数：向量各个元素绝对值p次方求和然后1/p次方，
L∞ （Lc范数）范数：向量各个元素求绝对值，其中的最大值。
（Reference：知乎@Xinyu Chen、CSDN@Jinxiaoyu886）
三、李群与李代数

https://zhuanlan.zhihu.com/p/358455662
https://zhuanlan.zhihu.com/p/47330137

四、单、满、双射

单射：一对一的映射关系，即不同的x则y不同，可以存在某个y无x与之相对应；
满射：对任一y，都存在x，使得f(x) = y，不存在某个y无x与之相对应；
双射：单射+满射，即所有x、y都只有唯一对应映射关系。

（Reference：CSDN@柳婼）
五、矩阵的求导 1. 标量对矩阵求导的法则（节选）：

文章图片

文章图片

（Reference：知乎@长躯鬼侠）
2. 矩阵对矩阵求导（节选）

文章图片

文章图片

（Reference：知乎@长躯鬼侠）
六、齐次坐标用N+1个变量来描述N维坐标，以解决在投影空间中进行图像和几何处理。
齐次坐标描述具有缩放不变性/尺寸不变性（scale invariant）。

文章图片

（Reference：360个人图书馆：“齐次坐标”）
七、尺寸不变性、旋转不变性旋转不变性：只要对特征定义了方向，然后在同一个方向上进行特征描述就可以实现旋转不变性。
尺度不变性：为了实现尺度不变性，需要给特征加上尺度因子。在进行特征描述的时候，将尺度统一就可以实现尺度不变性了（换言之，取一标准度量尺寸，以此标准度量尺寸来评价图像中某部分物体的尺寸，其尺寸不随图像的缩放与旋转而改变）。
所谓的旋转不变性和尺度不变性的原理，就是我们在描述一个特征之前，将两张图像都变换到同一个方向和同一个尺度上，然后再在这个统一标准上来描述这个特征。同样的，如果在描述一个特征之前，将图像变换到同一个仿射尺度或者投影尺度上，那么就可以实现仿射不变性和投影不变性。
（Reference：CSDN@冰雪凌萱）
八、句柄（Handle） Windows是一个以虚拟内存为基础的操作系统，很多时候，进程的代码和数据并不全部装入内存，进程的某一段装入内存后，还可能被换出到外存，当再次需要时，再装入内存。两次装入的地址绝大多数情况下是不一样的。也就是说，同一对象在内存中的地址会变化。那么，程序怎么才能准确地访问到对象呢？为了解决这个问题，Windows引入了句柄。
系统为每个进程在内存中分配一定的区域，用来存放各个句柄，即一个个32位无符号整型值（32位操作系统中）。每个32位无符号整型值相当于一个指针，指向内存中的另一个区域（我们不妨称之为区域A）。而区域A中存放的正是对象在内存中的地址。当对象在内存中的位置发生变化时，区域A的值被更新，变为当前时刻对象在内存中的地址，而在这个过程中，区域A的位置以及对应句柄的值是不发生变化的。这种机制，用一种形象的说法可以表述为：有一个固定的地址（句柄），指向一个固定的位置（区域A），而区域A中的值可以动态地变化，它时刻记录着当前时刻对象在内存中的地址。这样，无论对象的位置在内存中如何变化，只要我们掌握了句柄的值，就可以找到区域A，进而找到该对象。而句柄的值在程序本次运行期间是绝对不变的，我们（即系统）当然可以掌握它。
所以，我们可以这么理解句柄：
【学习杂记|【杂文随笔1】学习笔记（含欧氏空间、范数、李群与李代数、单满双射、矩阵求导等）】数值上，是一个32位无符号整型值（32位系统下）；
逻辑上，相当于指针的指针；
形象理解上，是Windows中各个对象的一个唯一的、固定不变的ID；
作用上，Windows使用句柄来标识诸如窗口、位图、画笔等对象，并通过句柄找到这些对象。
关于句柄，再交代一些关键性细节：
1.所谓“唯一”、“不变”是指在程序的一次运行中。如果本次运行完，关闭程序，再次启动程序运行，那么这次运行中，同一对象的句柄的值和上次运行时比较，一般是不一样的。
其实这理解起来也很自然，所谓“一把归一把，这把是这把，那把是那把，两者不相干”（“把”是形象的说法，就像打牌一样，这里指程序的一次运行）。
2.句柄是对象生成时系统指定的，属性是只读的，程序员不能修改句柄。
3.不同的系统中，句柄的大小（字节数）是不同的，可以使用sizeof()来计算句柄的大小。
4.通过句柄，程序员只能调用系统提供的服务（即API调用），不能像使用指针那样，做其它的事。
（Reference：博客园@konglingbin）