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几何三角形重心的特性及公式证明 三角形重心

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三角形重心(几何三角形重心的特征及公式证明)
1.重心到顶点的距离与重心到对面中点的距离之比为2: 1 。
2.重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形的面积相等 。
3.从重心到三角形三个顶点的距离的平方和最小 。
证明方法:
设三角形的三个顶点为(x1 ， y1) ， (x2 ， y2) ， (x3 ， y3)平面上的任一点为(x ， y) ， 则该点到三个顶点的距离的平方和为:
(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2
= 3 x2-2x(x1+x2+x3)+3 y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32
= 3[x-1/3 *(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3 *(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2
显然 ， 当x = (x1+x2+x3)/3 ， y = (y1+y2+y3)/3(重心坐标)时
从上式得到最小值X12+X22+X32+Y12+Y22+Y32-1/3(X1+X2+X3)2-1/3(Y1+Y2+Y3)2 。
最后得出结论 。
4.在平面直角坐标系中 ， 重心坐标是顶点坐标的算术平均值 ， 
5.重心是三角形内部到三条边的距离乘积最大的点 。
要求多重不等式的柯西证明法！
6.在△ABC中 ， 如果MA向量+MB向量+MC向量=0(向量) ， 那么点M就是△ABC的重心 ， 反之亦然 。
7.设△ABC的重心为g点 ， 平面上有一点O ， 则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)




【几何三角形重心的特性及公式证明 三角形重心】

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