如何证明空间函数在何处间断？( 二 ) _经验知识

文章插图
我们也可以用图形来解释一下这个定义。当P点离P0的距离小于δ的时候。意味着P点落在以P0为圆心。δ为半径的圆里面。而此时。f(P)的值需要落在L上下相距ε的两个平面之间。图形如下：

文章插图
当然。有的时候为了计算上的方便。我们把圆形改成正方形。于是就得到了下面等价的定义：

文章插图
知道了函数的极限。我们就可以来定义函数的连续性了。同样的。按照一元函数的思路。我们可以来定义：若函数在P0点的极限值等于函数值。则称它在该点处是连续的。否则称为间断的。即函数在一点处连续需要满足的式子是：

文章插图
所以我们的核心还是归结为到求多元函数在一点处的极限值。拿它跟P0处的函数值相比较。二者相等即为连续。而对于间断的情况。分为两种可能：一种可能是函数在这一点的极限值存在。但是这个极限值和函数值不相等；第二种情况是函数在这一点的极限根本就不存在。就更无所谓与函数值相等了。这两种情况我们分别来举例子。
极限值存在。但不等于函数值的例子
讨论下列函数在(0,0)点的连续性

文章插图
这是个分段函数。在(0,0)点以外的地方。分母是2次式。分子是3次式。因此考虑极坐标代换的方法。回忆一下极坐标转直角坐标的转化公式：

文章插图
于是可以得到：

文章插图
我们来观察一下这个式子。括号里面是三角函数的式子。而三角函数一定位于-1~1之间。所以括号里面的表达式一定位于-2~2之间。于是它就是一个有界量。而当P向P0靠近的时候。3r一定也是向0靠近的。所以它是个无穷小量。而我们知道。无穷小量乘以有界量。极限一定还等于0 。于是

文章插图
但是原来的函数在(0,0)这一点的取值为1 。因此这一点的极限值不等于函数值。所以在这一点函数是间断的。
这个函数的图像画出来是下面这个样子。我们可以根据图像来初步感受一下在(0,0)点的连续性：

文章插图
注意这个图像在(0,0)这一点的取值为1 。就是上面红色的点。所以在这一点处它是不连续的。
极限值不存在的例子
在学一元函数的时候。我们曾经学过求x向某一点趋近时的极限。我们要考虑左侧和右侧。也就是它有两种趋近方向。但是对于二元函数情况则要复杂的多。因为在平面上。一个动点向一个定点靠近。它的趋近方向可就不止一种了。甚至都不必走直线：

文章插图
只有当P沿所有路径趋近P0时。函数的极限值都是相等的。那我们才说。函数在这一点的极限存在。但凡你能找到两条路径。使得沿着这两条路径趋近的极限不同。那么就可以说明函数在这一点的极限不存在。
这就是证明多元函数在一点不存在极限的方法。按照这种方法。我们来看一下下面这个例子：
讨论下列函数在(0,0)点的连续性：