如何证明空间函数在何处间断?( 二 )


如何证明空间函数在何处间断?

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我们也可以用图形来解释一下这个定义 。当P点离P0的距离小于δ的时候 。意味着P点落在以P0为圆心 。δ为半径的圆里面 。而此时 。f(P)的值需要落在L上下相距ε的两个平面之间 。图形如下:
如何证明空间函数在何处间断?

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当然 。有的时候为了计算上的方便 。我们把圆形改成正方形 。于是就得到了下面等价的定义:
如何证明空间函数在何处间断?

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知道了函数的极限 。我们就可以来定义函数的连续性了 。同样的 。按照一元函数的思路 。我们可以来定义:若函数在P0点的极限值等于函数值 。则称它在该点处是连续的 。否则称为间断的 。即函数在一点处连续需要满足的式子是:
如何证明空间函数在何处间断?

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所以我们的核心还是归结为到求多元函数在一点处的极限值 。拿它跟P0处的函数值相比较 。二者相等即为连续 。而对于间断的情况 。分为两种可能:一种可能是函数在这一点的极限值存在 。但是这个极限值和函数值不相等;第二种情况是函数在这一点的极限根本就不存在 。就更无所谓与函数值相等了 。这两种情况我们分别来举例子 。
极限值存在 。但不等于函数值的例子
讨论下列函数在(0,0)点的连续性
如何证明空间函数在何处间断?

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这是个分段函数 。在(0,0)点以外的地方 。分母是2次式 。分子是3次式 。因此考虑极坐标代换的方法 。回忆一下极坐标转直角坐标的转化公式:
如何证明空间函数在何处间断?

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于是可以得到:
如何证明空间函数在何处间断?

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我们来观察一下这个式子 。括号里面是三角函数的式子 。而三角函数一定位于-1~1之间 。所以括号里面的表达式一定位于-2~2之间 。于是它就是一个有界量 。而当P向P0靠近的时候 。3r一定也是向0靠近的 。所以它是个无穷小量 。而我们知道 。无穷小量乘以有界量 。极限一定还等于0 。于是
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但是原来的函数在(0,0)这一点的取值为1 。因此这一点的极限值不等于函数值 。所以在这一点函数是间断的 。
这个函数的图像画出来是下面这个样子 。我们可以根据图像来初步感受一下在(0,0)点的连续性:
如何证明空间函数在何处间断?

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注意这个图像在(0,0)这一点的取值为1 。就是上面红色的点 。所以在这一点处它是不连续的 。
极限值不存在的例子
在学一元函数的时候 。我们曾经学过求x向某一点趋近时的极限 。我们要考虑左侧和右侧 。也就是它有两种趋近方向 。但是对于二元函数情况则要复杂的多 。因为在平面上 。一个动点向一个定点靠近 。它的趋近方向可就不止一种了 。甚至都不必走直线:
如何证明空间函数在何处间断?

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只有当P沿所有路径趋近P0时 。函数的极限值都是相等的 。那我们才说 。函数在这一点的极限存在 。但凡你能找到两条路径 。使得沿着这两条路径趋近的极限不同 。那么就可以说明函数在这一点的极限不存在 。
这就是证明多元函数在一点不存在极限的方法 。按照这种方法 。我们来看一下下面这个例子:
讨论下列函数在(0,0)点的连续性:
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我们选择两条不同的路径:
1、我们选择路径y=x 。当(x,y)不在(0,0)时 。有:
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因此此时极限值为1/2
2、我们选择路径y=2x 。当(x,y)不在(0,0)时 。有:
因此此时极限值为2/5 。
我们选择两条不同的路径 。得到了两个不同的极限值 。因此函数在这一点的极限是不存在的 。就更无所谓是否与函数值相等了 。于是函数在(0,0)点就是间断的 。它的图形是下面这个样子:
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好了 。上面就是多元函数的连续性与间断性的一般方法 。我们来看下一类函数——向量函数 。
3.向量函数的连续性
我们首先需要搞清楚向量函数的概念 。就拿三维向量函数举例子 。

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