如何证明空间函数在何处间断？( 四 ) _经验知识

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其中的x表示的是一个m维向量。y表示的是一个n维向量。所以把它们写开之后。实际上是这个样子：

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而y的每一个分量又可以表示成x中每一个分量的函数。所以实际上一个向量场是由n个m元函数组成的。即：

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定义向量场的极限依然使用的是老方法。即自变量向某个向量无限靠近的时候。因变量也向某个向量无限靠近。这样就定义了向量场在某个向量处的极限。稍微麻烦一点的是现在自变量与因变量都是向量。向量与向量无限靠近靠近。我们前文已经说过。用的是两个向量的差向量的模长无限小来描述。于是我们就得到了以下形式的定义：

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其中向量的模长就是用勾股定理来定义的：

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前面介绍向量函数的极限时。我们有一个充分必要条件。即可以把向量函数的极限转化为多个一元函数的极限。同样道理。我们这里也有类似定理。可以把向量场的极限转化为分量函数的极限。只不过现在的每一个分量函数都是一个多元函数。因此它的极限又需要使用多元函数的极限的定义。这里就不再赘述了。有了极限的概念。我们自然可以利用极限来定义向量场的连续性。跟前面的思想几乎完全是一样的。若向量场在某个向量处的函数值等于极限值。则称向量场在该向量处是连续的。这里也不再赘述了。
向量场的连续性在拓扑学中有着非常重要的研究价值。比如有一个非常著名的定理。它的名字很奇怪。叫做“毛球定理” 。这个定理本身叙述起来比较简单。为了形象的理解。我这里只说一个简化的版本：
毛球定理(二维情形)：二维球面上不存在连续的向量场

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毛球定理在生活中其实有很多应用。他告诉我们。你永远无法把一个长满毛的球上面的毛全都抚平。它还解释了其它现象。比如。为什么人的脑袋上总会至少有一个“旋儿”？为什么台风总会有一个台风眼？及还有一个比较神奇的结论。在任何一个时刻你都可以找到地球上的某个点。在这一点处空气是完全静止的。即完全无风。因此这个定理在气象学上也有很重要的应用。

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参考文献
[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC
[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE
[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE
[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON
[5] 《数学分析》华东师范大学数学系。第四版。北京。高等教育出版社
其他观点：
说了半天不着正题。这就是我们的学术？函数没有定义。多简单啊。你就是不说。难道你也不清楚它与下定义所区别？