如何证明空间函数在何处间断？( 三 ) _经验知识

三维向量函数的自变量是一维的。我们一般用t来表示。而它的因变量是三维的。是一个向量的三个分量。所以一个三维向量函数通常写成以下这个样子：

文章插图
有的时候我们也写成下面这个样子：

文章插图
这个样子的式子跟上面那个式子从本质上讲是一样的。但是排列成这种形式。我们就一般把它看成是以t为参量的参数函数。
三维向量函数或三维参数函数。它的图像就是空间中的一条曲线。随着t的变化而滑出一道轨迹来。

文章插图
生活中的许多现象用普通的函数非常难研究。于是这时就需要使用参数函数。比如最典型的例子有螺旋线。摆线等等。我们研究平面上或空间中的物体运动问题。有时候也要使用参数方程。下图展示的就是各种各样的空间曲线：

文章插图
那么我们如何来研究一个向量函数。在某一点的连续性呢？同样我们需要使用极限的概念。这里就是向量函数的极限。
还是先从直观上来看。向量函数在t=a处的极限。相当于t无限的向a靠近的时候。它所代表的向量r(t)也无限的向某个向量来靠近。这个向量就称为向量函数在t=a处的极限。我们先看一个简单的示意图：

文章插图
下面来研究如何把它写成严格的ε-δ定义的形式。遇到的一个比较困难的问题。就是如何形容两个向量挨得无限近。我们用的方法是两个向量做差得到的差向量的模长无限短。于是就得到如下定义：

文章插图
上面这个定义虽然是官方的定义。但是实用性却不太强。因为求向量模长是一个比较复杂的问题。幸运的是。我们有一个定理。求向量函数的极限就相当于求向量函数各个分量的极限。而每一个分量都是个一元函数。它的极限是比较好求的。定理如下：

文章插图
因此。向量函数的本质实际上就是多个一元函数。研究方法跟一元函数是完全平行的。我们定义向量函数在某一点的连续性。自然也是同样的思想。即。如果满足

文章插图
那么就说向量函数在t=a这一点是连续的。利用定理就可以得到。它充分必要条件就是：

文章插图
因为是充分必要条件。所以上边的三个式子里边儿但凡有一个不成立。那么向量函数的极限也就不可能等于向量函数值。于是在这一点就是断开的。根据这一点。我们就可以很轻易地找到在某一点是断开的向量函数。比如下面这个例子：

文章插图
很明显我们知道

文章插图
但是

文章插图
因此这个函数在t=0这一点是间断的。可以看出来。向量函数的连续性就可以划归为多个一元函数的连续性。因此它没有增加实质上的新东西。我们对向量函数的介绍也就到此为止。

文章插图
向量场是比前两者都要更复杂的函数。它的自变量和因变量都是多维的。意思就是说它的自变量和因变量都是向量。比较常见的是自变量与因变量都是二维向量的平面向量场。以及自变量与因变量都是三维向量的空间向量场。他们的本质就是在平面上或空间中的每一个点都指定一个向量。物理中常见的力场。电场。磁场等等。都是某种特殊的向量场。包括数学中的梯度场。也是一种特殊的向量场。下图中所展示的是几个常见的空间向量场：