如何证明空间函数在何处间断？ _经验知识

空间函数属于多变量微积分的部分。多变量微积分是对单变量微积分的推广。主要是利用微积分的方法来研究多元函数。其研究脉络基本与一元函数相同。主要包括了多元函数的极限。连续性。导数。积分等等。不过因为多元函数是在比平面更为复杂的空间中进行研究。所以每一部分内容相应的也要复杂很多。

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多变量微积分中所研究的函数对象。根据其自变量与因变量的维度不同划分为三个类型。
自变量是多维的。因变量是一维的。这种函数就称为多元函数。其中比较特殊的情况是自变量是二维的。称之为二元函数。通常情况下记作z=f(x,y) 。那这样一来它表示的就是空间中的一个曲面。

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自变量是一维的。因变量是多维的。这种函数称之为参数函数。有时也叫向量函数。如果因变量是二维的表示的。就是平面上的一条曲线；因变量是三维的表示的就是空间中的一条曲线。

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自变量和因变量都是多维的。这种函数称之为向量场。通常情况下。我们研究自变量与因变量都是二维的情况。即平面上的向量场；以及自变量与因变量都是三维的情况。即空间中的向量场。

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不管是上面哪种情况。要想研究他们的连续性。就必须搞清楚连续性的定义是什么。我们已经说过多变量微积分是沿袭的单变量微积分的思想。因此我们需要首先来看一下单变量微积分中是如何来研究连续性的。
1.单变量微积分
【如何证明空间函数在何处间断？】单变量微积分的研究对象就是普通的一元函数y=f(x) 。它的连续性是利用极限来定义的。函数f(x)在x=a点处连续。意思就是函数在这一点的极限值等于它的函数值f(a) 。即：

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它的图形解释就是函数在a点处有一个取值f(a) 。当x无限向a靠近的时候。函数值也无限靠近f(a) 。这样的话曲线和点就可以连上。于是就称为函数在这一点连续：

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因此判断函数在某一点是连续的还是间断的。只需要把这一点的极限值求出来。再与函数值相比较即可。如果二者相同则是连续的。如果不同则是间断的。因此函数连续性的问题本质还是在求极限的问题。在数学分析里面。我们给出了一个函数在一点极限的精确定义：

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这就是著名的关于极限的ε-δ定义。它的图形解释如下

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ε-δ定义。是经过了柯西(Cauchy) 。阿贝尔(Abel) 。波尔查诺(Bolzano)等数学家的努力。最后由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)最终提出。它的提出彻底地消除了第二次数学危机。将整个微积分建立在严密化的基础之上。在数学史的发展中具有里程碑的意义。
套用到连续性的定义上。我们就有：

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讨论完单变量微积分。按照相同的思想。我们就可以来研究多变量微积分了。
我们按照上面列举的三种类型的函数顺序来进行研究。
2.多元函数的连续性
我们就以二元函数z=f(x,y)为例子。我们已经说过。它的图像表示的就是空间中的一个曲面：

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各种各样的空间曲面
多元函数在一点的连续性同样是用该点处函数的极限值等于函数值来定义的。
在一点的函数值非常好算。只需要把该点处的x和y带到函数表达式里面即可。那么最重要的问题来了。多元函数在一点的极限值又如何来定义和计算呢？
二元函数的自变量是平面上的一个点。一个点对应一个函数值。于是我就可以给先给出一个极限粗略的定义。设P是平面上的动点。P0是平面上的一个定点。当P无限地朝向P0运动时。f(P)的值无限向某个数L靠近。那我们就说这个二元函数在P0处的极限等于L 。
当然这只是一个很粗略的定义。要想下一个严格的定义。我们则需要使用ε-δ语言。在一元函数里面。我们需要让x和a离得特别近。用的方法就是|x-a|小于一个δ 。同样地。这里我们只需要让P和P0的距离小于δ即可。而平面上的两点距离可以使用勾股定理计算。于是我们可以写出如下定义。设P点的坐标是(x,y) 。P0点的坐标是(x0,y0) 。就有