魔方的原理是什么？( 二 ) _经验知识

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令。M ={U, D, F, B, L, R} 。当任意面 f ∈ M 朝向我们时。对 f 面顺时针旋转 90° 。被定义为魔方的基本操作（base operation）。同样用 f 面的面标识来表示这种基本操作。所以 M 也代表魔方的全部基本操作。
对于。任意基本操作 g, h ∈ M 。gh 称为 g 和 h 的复合（compose）。表示先 g 操作再 h 操作的复合操作。可以验证。复合满足结合律。这样以来。以 M 为生成元在复合操作下会生成一个群 G = (M) 。称为魔方群（Rubik‘s cube group) 。其中。G 的幺元。记为 1 。表示没有进行任何操作的操作。
什么是群？
群就是定义了一种运算的集合。其满足：
集合对运算封闭。即。对于任意都有( 注意：和乘法运算类似。习惯省略不写) ；
运算有分配律。即。对于任意都有；
有幺元。即。存在使得对于任意都有；
有逆元。即。对于任意都存在的逆元使得。
什么是 M 生成的群？
数学上定义：包括 M 中元素的最小的群。为M生成的群。记为 (M) 。实际上。可以对 M 中任意操作 g 和 h 不断的进行复合运算。如果得到的新复合操作 gh 不在 M 中。就 gh 添加到 M 里。直到 M 不再增加。这样就得到了 (M) 。
同一基本操作 g 。连续四次复合就是对 g 面顺时针旋转 360° 。这相当于没有操作。即。
gggg = 1
从而有：
gg3 = 1
也就是说 g3就是 g 的逆元 g?1。相当于对 g 面逆时针旋转 90° 。
另外。由 gggg = 1 还可以得到：
g2g2 = 1
这说明连续两次复合 g2 的逆元就是自己。即。顺时针旋转 180° 相当于逆时针旋转 180°。
魔方状态
三阶魔方被细分为 3 × 3 × 3 = 27 个立方小块（cubie）。其中。位于中间核心的那个小块不会受到魔方操作的影响到。而对于每个面中心的那个小块魔方操作同样无法改变它的位置。因此魔方操作所能影响到的小块为 27 - (1 + 6) = 20 个。
这 20 个受魔方操作作用的小块。又分为两类：
位于魔方 8 个角处的角（corner）块。它们有3个有效小面（facet）；
位于魔方 12 个棱处的棱（edge）块。它们有2个有效小面；
由于。每个面的中心块保持位置不变。因此对于打乱的魔方。可以依照中心块来确定魔方的各个面方向。魔方在初始（或还原）状态下。角块和棱块的每个小面和该小面所在面的中心小块颜色保持一致。
我们用角块（或棱块）的各小面颜色所对应的标识的小写字母的组合来标识角块（或棱块）：
对于角块。三个小面 x, y, z 。有 6 种排列方式。这里使用从 u 或 d 开始的顺时针排列方式。即。角块标识 xyz 保证 x = u/d 并且 x →y → z 是顺时针；
对于棱块。二个小面 x, y, 有 2 种排列方式。这里使用从u 或 d（f 或 b）开始的排列方式。即。棱块标识 xy 保证 x = u/d/f/b；

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根据上面的规则。八个角块分别表示为：ufl, urf, ubr, ulb; dbl, dlf, dfr, drb; 十二个棱块分别表示为：ub, ur, uf, ul; bl, br, fr, fl; db, dr, df, dl
注意：六个中心块分别表示为：u, d, f, b, l, r 。核心块一般用 o 表示。
更进一步。对于角块 xyz 。我们用 xyz 表示 x 小面。yzx 表示 y 小面。zxy 表示 z 小面。对于棱块 xy。我们用 xy 表示 x 小面。用 yx 表示 y 小面。于是。我们就得到了带有标注的 8 × 3 + 12 × 2 = 48 个小面。将。全体小面记为 T 。则任意操作 g ∈ G 就变成了 T 上的一种置换（位置变换）。以 F 操作为例。

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观察发现。小面 fur经过 F 操作置换为小面 flu 。即。F(fur) = flu 。另有 F(flu) = fdl、F(fdl) = frd、F(frd) = flu 。于是在 F 操作下。以上 4 个置换形成了一个置换圈：

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我们称其为轮换（cycle）。记为 (fur flu fdl frd)。
参与轮换的小面可以是任意多个。值得注意的是：任何一个小面 a 的轮换 (a)相当于不做置换。有,1 = () = (a)。
当然。实际上 F 操作包含多个轮换。将这些轮换以复合的方式。聚合在一起。就是定义了一个完整 F 操作：
F =(fur flu fdl frd) (fu fl fd fr)(rfu ufl lfd dfr)(rf uf lf df)(rdf urf luf dlf)