魔方的原理是什么？( 四 ) _经验知识

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定义复合函数：

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为了输出简洁。当所有角块（或。棱块）不发生旋转时。用一对空括号表示。
最后。我们对基本操作进行必要的扩展：

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换位子和共轭
对于任意两个魔方操作 g,h ∈ G 。如果。g 和 h 的复合满足交换律。则：
gh = hg
等式两边右乘 g?1h?1 。有：
ghg?1h?1 = hgg?1h?1 = h1h?1 = hh?1 = 1
如果不满足交换律。则：
ghg?1h?1≠ 1
令。[g, h] = ghg?1h?1 。称其为换位子（commutator）。
一般来说。魔方相对面。如： F 和 B 。U 和 D 。L 和 R 之间是可以交换的。即。
[F, B] = [U, D] = [L, R] = 1
所有。换位子之间是可以交换的。即：
[[g?, h?] [g?, h?]] = 1
关于。换位子有性质1：如果 g 和 h 两种操作。只共同影响一个小块 k 。其中 g 为 n → k 。h 为 m → k 。则有 [g, h] = (k, n,m) 。[h, g] = (k, m, n) 。
例如。若 g = (c? c? c?),h = (c?, c? c?) 。则 k = c?,n = c?,m = c? 。于是有：

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即。[g, h] = (c? c? c?) 。[h, g] =(c? c? c?) 。
性质1推论：如果 g 和 h 两种操作。共同影响的小块。刚好在 g 和 h 中分别形成轮换 σ 和 τ 。则有 [g, h] = [σ, τ] 。
例如：若 g = (c? c? c? c?)(c? c?), h = (c? c? c? c?)(c? c?) 。则它们的共同影响小块 c?、c?、c?、c? 。分别在 g 和 h 中。组成轮转(c? c? c? c?) 和(c? c? c? c?) 。于是有：

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即。[g, h] = [(c? c? c? c?),(c? c? c? c?)] 。
魔方群中还有另外一种称为共轭（conjugate）的复合方式：对于任何操作 g,h ∈ G 。称 ghg?1 为 h 关于 g 的共轭。
共轭具有性质2：如果 h = (a b c) 而 g 将 A, B, C 分别映射到 a, b, c 。则有 ghg?1 = (A B C) 。
例如：若 h = (c? c? c?),g = (c? c?)(c? c?)(c? c?) 。则有：

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即。ghg?1 = (c? c? c?) 。
魔方公式
好了！现在利用上面的知识。就可以开始构造魔方公式了。
寻找角块的换位公式
我们发现 B?1 关于 R?1 的共轭 R?1B?1(R?1)?1 = R?1B?1R：

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和 F2：

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仅有 c? 共同影响。于是它们满足性质1 。有：
【魔方的原理是什么？】

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即。[R?1B?1R, F2] = R?1B?1R F2 (R?1B?1R)?1 (F2)?1 = R?1B?1R F2 R?1B?1R F2 = (c1, c7, c8) 。
注意：因为 (ab)(b?1a?1) = abb?1a?1 = a1a?1 = aa?1 = 1 。所以 (ab)?1 = b?1a?1 。
这里 c?, c?, c? 不共面。考虑 R2 :