π(x)其实是一个客观确定的函数，比如我们都知道10以内的质数一共有4个（π(10)=4），20以内的质数一共有8个（π(20)=8），100以内的质数总共有25个（π(100)=25）等等 。那么接下来我们就要找一个已知的函数来模拟它，让这个函数取10的时候，它的值为4，取20的时候值为8，取100的的时候值为25 。
因为我们没有找到描述质数的准确规律，所以我们也无法找到一个精确的描述质数分布的函数，于是我们就只能尽可能去找一个误差比较小的函数来代替它，让我们对质数的分布有个大致的把握 。
质数的计数函数π(x)是高斯提出来的，他自己先给出了一个近似模拟π(x)的函数：x/ln(x) 。并且提出：当x逐渐增大到无穷大时候，π(x)和x/ln(x)应该近似相等 。这个就叫素数定理 。
后来，人们又提出了一个模拟π(x)的函数Li(x)，这个函数比x/ln(x)更加精确 。
这几个函数的图如下，我们可以看到Li(x)偏大，x/ln(x)偏小 。相比之下Li(x)确实更加精确一些 。
但是，即便如此，数学家们还是不满意 。Li(x)即便精确一些，但是当x取到亿级的时候，它将产生两千多个误差，这对眼里容不得沙子的数学家来说，依然是不可接受的 。
难道就不能再找到更好的结果了么？
黎曼登场前面做了那么多铺垫，我们的主角黎曼终于要登场了 。
我们先看一看这几个人的出生年代：欧拉（1707-1783）、高斯（1777-1855）、黎曼（1826-1866） 。高斯比欧拉小了70岁，黎曼比高斯小了49岁，而黎曼正好是高斯最得意的学生 。从上面我们发现最悲伤的事情是：欧拉和高斯分别活了76岁和78岁，而黎曼只活了40岁 。
如果黎曼能活得跟欧拉高斯一样久，黎曼猜想或许早就被黎曼自己解决了，而且说不定黎曼能把相对论搞出来（爱因斯坦的广义相对论的数学工具就是黎曼几何） 。黎曼的创造力和对数学的洞察力太惊人了，他随便一个证明从略的东西就要花费后世数学家几十年的时间去证明，而黎曼的运气又太差了，他极其珍贵的手稿在他死后被管家一把火烧了，可见身体是革命的本钱啊！
1859年，黎曼发表了关于质数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》，这是他在这个领域发表的唯一的一篇论文，却被认为的该领域最重要的论文，不得不说有才就是任性 。
黎曼 Zeta函数关于Zeta函数我们在上面已经介绍了，欧拉第一个发现了质数和Zeta函数之前存在着某种不可告人的秘密，但是这种关系毕竟很有限 。
黎曼做的一个重要的工作就是：把Zeta函数推广到了复数，然后在复数这个更高的角度发现了Zeta函数跟质数之间更加深刻的关系 。
我们先来回忆一下复数的概念：-3，2，0，1，5这种数是整数，整数加上有限小数和无限循环小数构成了有理数，有理数加上π、根号2这种无限不循环的无理数一起构成了实数，实数和虚数一起构成了复数 。
虚数主要是通过一个虚数单位构成的，这个虚数单位记做i，这个i的一个神奇的特性就是：i的平方等于负一，即i^2=-1 。
我们知道，在实数范围里，任何一个数的平方都是大于等于0的数，但是现在出现了一个i，它的平方居然等于-1，那么这个i肯定就不是实数里面的了 。那么，有这个i组成的数就叫虚数，实数和虚数一起就叫复数 。
根据上面的定义，一个复数就可以写成s = σ + it（其中σ 和 t 均为实数，i为虚数单位），当t=0的时候，这个复数就变成了一个实数 。
黎曼Zeta函数就是把原来的Zeta函数拓展到了这个复数里面，也就是说下面的s代表一个复数 。
函数的零点我们在初中的时候就接触过方程和函数 。
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