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黎曼zeta函数值计算_黎曼泽塔函数是什么( 二 )

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Zeta函数ζ(n)欧拉的那个不可思议公式（1+2+3+4+5+……=-1/12）其实有一个更加一般的形式，这个更加一般形式就叫Zeta函数ζ(n)：

黎曼zeta函数值计算_黎曼泽塔函数是什么

文章插图
我们可以看到，上面那个自然级数的求和就是这个当Zeta函数里n=-1的时候的特例，即：
ζ(-1)=1+2+3+4+……=-1/12 。
欧拉在1735年（28岁）就算出来了ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=π^2/6，并且通过这个一举成名 。
欧拉后面还要继续跟这个Zeta函数打交道，并且发现这个函数里隐藏的惊天秘密，最终给黎曼和黎曼猜想打开了一扇大门 。
那么，欧拉到底发现了Zeta函数里面隐藏的什么秘密呢？
答案就是：Zeta函数和质数之间有某种不可告人的关系 。
为什么质数（素数）如此重要？质数，也叫素数，我们在小学的时候就知道它的概念：只能被自己和1整除的自然数就叫质数（比如2, 3, 5, 7, 11, 13），质数以外的自然数（就是说除了自己和1，还能被其他的）叫合数 。
小时候我们知道质数和合数的定义，也知道要怎么判断，但是我们未必知道质数的意义（不就是只能被自己和1整除嘛，有什么特别意义的） 。
我们先来想一想，合数为什么叫合数？我们可以理解为合数是可以由其他的质数合成的数 。小学我们就学过质因数分解：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这个质数就叫这个合数的分解质因数 。
也就是说，我所有的合数都可以看成是由质数组合而成的，那么，只要我把这些处在最低层的质数的规律摸清楚了，那么上层的合数的规律就不在话下了 。
这就好比我们学物理，只要我们把分子原子的规律搞清楚了，那么由分子原子组成的物质的性质也就搞清楚了 。而质数在自然数里的地位，就相当于分子原子电子（现在应该是夸克）这些基本粒子在物理学的地位，所以你说它重不重要？
质数的规律既然质数这么重要，那数学家们都去研究质数的规律啊，都别闲着啊！
数学家们自觉得很，根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了，但是研究来研究去，发现这质数实在太难搞了，压根就没啥规律可言嘛 。试图通过简单的多项式来找到质数规律的直接被判死刑了，不信我列举100以内的质数你自己去找找规律看看，看看能找出什么规律：
100以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 。
数学们发现质数有无穷多个，而且根本找不到简单的多项式通项公式，要研究质数压根不知道从而下手 。
这种尴尬的局面一直要到欧拉发现了Zeta函数和质数之间的神秘联系之后才被打破 。
欧拉乘积公式1737年，欧拉在一篇名为《无穷级数的各种观察》的论文中首次发现了质数和Zeta函数之间的一种关系：Zeta 函数的求和等于1减去质数的-s 次方的倒数的求积 。
这个公式叫做欧拉乘积公式（p为质数）：
这个公式看不太懂也没关系，反正我们只要知道欧拉第一次发现了质数的乘积和Zeta函数的求和之间存在一种关系就行了 。这种关系是现代质数理论的基础，并且给后人指明了一个方向：想要了解质数的规律么？那么就去研究Zeta函数把，质数的规律极有可能就藏在Zeta函数里面 。
质数的计数函数π(x)在上面我们提到，想找到一个简单的多项式公式来描述质数是不可能的，那我来研究一下质数的分布规律总可以吧，我想知道100以内大概有多少个质数，100万以内大概有多少个质数，这个也非常的重要 。
高斯引入质数的计数函数π(x)就是用来干这事的，π(x)表示小于x的质数数量，比如π(100)就表示小于100的质数有多少个 。

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