复利的威力到底有多大？ _经验知识

在前一段热映的电影《动物世界》中有这么一个情节：郑开司被朋友坑欠上了高利贷。不得不上了一条贼船开始了石头剪刀布的赌博游戏。在游戏途中。郑开司向庄家借款。按分钟复利计算。片中角色多次提到：利息将是一个天文数字。

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我们在储蓄时。经常听说“单利”和“复利”两个词。简单来说。单利就是在计算利息时只考虑初期借款额。而复利俗称利滚利。就是每隔一段时间。将本金和利息算作新的本金。计算下一期利息。那么。复利真的有这么厉害嘛？复利的多少到底和什么因素有关呢？
为了了解这个问题。我们首先来研究一个简单的模型：如果一个人从别人处借款100元。年利率12% 。借款1年。1年后一次性付清本息。那么最后到底有多少利息？
单利和复利
如果利息是单利。那么情况非常简单：每年的利息是100元×12%=12元。到期时一共还款112元。
如果利息是复利。那么这个12%就是名义年利率。我们除了要知道名义年利率。还要知道复利的分期——即多长时间计算一次复利。
比如：每半年计算一次复利。那么半年的名义利率就是12%÷2=6% 。于是：
六个月末。将100元记作本金。计算半年利息。本息一共

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一年末。将106元作为新的本金。计算半年利息。期末本息共

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相比于单利。复利多了0.36元。看起来并没有太夸张。这是因为。我们计算的每期复利时间比较长。复利期数较少。如果我们缩短计算复利间隔。情况又是如何呢？
如果每个月计算一次复利。那么每个月的名义利率就是12%÷12=1% 。同时我们要计算12次本息。因此每个月的本息和是：

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十二个月后。本息一共是

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相比于半年复利的112.36元。月复利的本息和又多了0.32元。
我们不妨来总结一个公式：假设复利的名义年利率是r 。借款1年。分期数为n 。那么每一期的名义利率就是r/n 。如果初期借款是P 。那么到期还款的本息F一共：

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期数n越多。每一期的期限就越短。每一期的名义利率r/n就会越低。但是由于总期数多了。总体的利息会变得越高。如果按天复利、按分钟复利甚至按秒钟复利。计算结果就会更大。
那么问题来了：如果我们把期数n取做无穷大。每一期的计算复利时间无限短。就称之为连续复利。连续复利到期的本息F到底是多少呢？利息会变成无穷大吗？
为了计算这个问题。我们需要了解一个非常重要的常数：e
欧拉数e
e是一个无理数。称为自然对数的底。人们最早研究e的目的是为了求解某些乘方和开方问题。后来。数学家欧拉对其进行了深刻的研究。并用字母e来表示它。恰巧欧拉的名字首字母也是E（Euler）。所以人们也称之为欧拉常数。
欧拉计算了这样一个问题：
令

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当n=1时。x=2
当n=2时。x=2.25
当n=3时。x=2.37037…
我们按照这个方法计算下去。可以得到一张图

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从这张图我们会发现。当n增大时。x会趋近于一个固定值。欧拉从数学上严格证明了当n趋向于无穷大时。x会有一个极限值。并将这个值称为e 。

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现在我们计算e一般是通过泰勒展开的方式。e可以展开为

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其中n！称为n的阶乘。n！=1×2×3×... ×(n-1) ×n 。并且0！=1.
e是一个无理数。它的前几位是2.718281828459045… 。其实很好记。大家看。首先是2.71828 。然后1828重复一次。再往后是等腰直角三角形的三个内角45、90、45 。这个常数在工程计算上的作用一点不比圆周率π小。大家都知道π≈3.1415926 。那也应该知道e≈2.71828 。
连续复利
现在我们可以利用欧拉数e计算连续复利了。回到最初的问题：初期借款为P 。名义年利率r 。借款1年。分期n期。那么最终本息一共