本文概述
- 布尔代数的性质
- 子代数
- 同构布尔代数
- 布尔函数
由于（B, ∧, ∨）是互补的分布格, 因此B的每个元素都有唯一的互补。
布尔代数的性质 1.交换性质：
（i）a + b = b + a（ii）a * b = b * a
2.分布特性
（i）a +（b * c）=（a + b）*（a + c）（ii）a *（b + c）=（a * b）+（a * c）
3.身份属性
（i）a + 0 = a（ii）a * 1 = a
4.补充法律：
（i）a + a’ = 1（ii）a * a’ = 0
子代数 考虑一个布尔代数（B, *, +, ‘ , 0, 1）并让A?B。然后（A, *, +, ‘ , 0, 1）称为的子代数或子布尔代数如果A本身是布尔代数, 则B, 即A包含元素0和1并在*, +和’ 操作下关闭。
【布尔代数解析】示例：考虑布尔代数D70, 其Hasse图如图所示：
注意：布尔代数的子集可以是布尔代数, 但是它可能是子代数, 也可能不是子代数, 因为它可能不会关闭B上的运算。 同构布尔代数 如果存在一对一的对应关系f, 则两个布尔代数B和B1被称为同构：B?B1保留B中任何元素a, b的三个运算+, *和’ , 即f（a + b）= f （a）+ f（b）f（a * b）= f（a）* f（b）且f（a’ ）= f（a）’ 。
示例：以下是两个不同的布尔代数, 其中两个元素是同构的。
1.第一个是布尔代数, 它由?（集合包含）下的幂集P（S）派生, 即, 令S = {a}, 然后让B = {P（S）, ∪, ∩, ‘ }是具有两个元素P（S）= {?, {a}}的布尔代数。
2.第二个是布尔代数{B, ∨, ∧, ‘ }, 具有两个元素1和p（其中p是素数）, 在运算除法后, 即B = {1, p}。因此, 我们有1∧p = 1和1∨p = p以及1’ = p和p’ = 1。
该表显示了布尔代数（B, *, +, ‘ , 0, 1）的所有基本属性, 其中任何元素a, b, c都属于B.B的最大和最小元素分别由1和0表示。
1. a≤biff a + b = b 2. a≤biff a * b = a 3.幂等律4.交换性质（i）a + b = a（i）a + b = b + a（ii ）a * a = a（ii）a * b = b * a 5.缔合特性6.吸收定律（i）a +（b + c）=（a + b）+ c（i）a +（a * b） = a（ii）a *（b * c）=（a * b）* c（ii）a *（a + b）= a 7.身分定律8.空定律（i）a + 0 = a（i ）a * 0 = 0（ii）a * 1 = a（ii）a + 1 = 1 9.分配律10.补律（i）a *（b + c）=（a * b）+（a * c）（i）0’ = 1（ii）a +（b * c）=（a + b）*（a + c）（ii）1’ = 0（iii）a + a’ = 1（iv）a * a’ = 0 11.内卷律12.德摩根定律（a’ ）’ = a（i）（a * b）’ =（a’ + b’ ）（ii）（a + b）’ =（a ‘ * b’ ）
注意：1.对于每个a∈B, 0≤a≤1。2.每个元素b具有唯一补码b’ 。 布尔函数 考虑布尔代数（B, ∨, ∧, ‘ , 0, 1）。如果n个变量的布尔表达式可以指定, 则从A” 到A的函数称为布尔函数。
对于二值布尔代数, 从[0, 1] n到[0, 1]的任何函数都是布尔函数。
示例1：该表显示了从{0, 1} 3到{0, 1}的函数f
| （x, y, z） | f |
| (0, 0, 0) | 0 |
| (0, 0, 1) | 0 |
| (0, 1, 0) | 1 |
| (0, 1, 1) | 0 |
| (1, 0, 0) | 1 |
| (1, 0, 1) | 1 |
| (1, 1, 0) | 0 |
| (1, 1, 1) | 1 |
| （x, y） | f |
| (0, 0) | 1 |
| (0, 1) | 0 |
| (0, 2) | 0 |
| (0, 3) | 3 |
| (1, 0) | 1 |
| (1, 1) | 1 |
| (1, 2) | 0 |
| (1, 3) | 3 |
| (2, 0) | 2 |
| (2, 1) | 0 |
| (2, 2) | 1 |
| (2, 3) | 1 |
| (3, 0) | 3 |
| (3, 1) | 0 |
| (3, 2) | 0 |
| (3, 3) | 2 |
