数据结构|数据结构 - 二叉树，二叉查找树，平衡二叉树，红黑树算法|动态规划|数据结构

一二叉树
树的概念：
树是一种非线性的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
二叉树（binary tree）是指树中结点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

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两种特殊的二叉树：
一棵深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树，称为满二叉树。这种树的特点是每一层上的节点数都是最大节点数。而在一棵二叉树中，除最后一层外，若其余层都是满的，或者说在最后一层右边缺少连续若干节点，则此二叉树为完全二叉树，深度为k的完全二叉树，至少有2^(k-1)个叶子节点，至多有2^k-1个节点。
二二叉查找树
二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。如下图：

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对该二叉树的节点进行查找发现深度为1的节点的查找次数为1，深度为2的查找次数为2，深度为n的节点的查找次数为n。
三平衡二叉树（AVL Tree）
平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1。下面的两张图片，左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1；右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1；

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如果在AVL树中进行插入或删除节点，可能导致AVL树失去平衡，这种失去平衡的二叉树可以概括为四种姿态：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）。它们的示意图如下：

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这四种失去平衡的姿态都有各自的定义：
LL：LeftLeft，也称“左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。
RR：RightRight，也称“右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。
LR：LeftRight，也称“左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。
RL：RightLeft，也称“右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。
AVL树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。
LL的旋转。LL失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。步骤如下：

将根节点的左孩子作为新根节点。
将新根节点的右孩子作为原根节点的左孩子。
将原根节点作为新根节点的右孩子。

LL旋转示意图如下：

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RR的旋转：RR失去平衡的情况下，旋转方法与LL旋转对称，步骤如下：

将根节点的右孩子作为新根节点。
将新根节点的左孩子作为原根节点的右孩子。
将原根节点作为新根节点的左孩子。

RR旋转示意图如下：

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LR的旋转：LR失去平衡的情况下，需要进行两次旋转，步骤如下：

围绕根节点的左孩子进行RR旋转。
围绕根节点进行LL旋转。

LR的旋转示意图如下：

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RL的旋转：RL失去平衡的情况下也需要进行两次旋转，旋转方法与LR旋转对称，步骤如下：

围绕根节点的右孩子进行LL旋转。
围绕根节点进行RR旋转。

RL的旋转示意图如下：

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四红黑树
有了二叉搜索树，为什么还需要平衡二叉树？
在学习二叉搜索树、平衡二叉树时，我们不止一次提到，二叉搜索树容易退化成一条链
这时，查找的时间复杂度从O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)也将退化成O ( N ) O(N)O(N)
引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树，保证查找操作的最坏时间复杂度也为O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)。

有了平衡二叉树，为什么还需要红黑树？
AVL的左右子树高度差不能超过1，每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡
在频繁进行插入/删除的场景中，频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣
红黑树通过牺牲严格的平衡，换取插入/删除时少量的旋转操作，整体性能优于AVL
红黑树插入时的不平衡，不超过两次旋转就可以解决；删除时的不平衡，不超过三次旋转就能解决
红黑树的红黑规则，保证最坏的情况下，也能在O ( l o g 2 N ) O(log_2N)O(log 2N)时间内完成查找操作。
红黑规则
一棵典型的红黑树，如图所示

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从图示，可以发现红黑树的一些规律：
节点不是红色就是黑色，根节点是黑色
红黑树的叶子节点并非传统的叶子节点，红黑树的叶子节点是null节点（空节点）且为黑色
同一路径，不存在连续的红色节点
以上是我们能发现的一些规律，这些规律其实是红黑规则的一部分。

红黑规则
【数据结构|数据结构 - 二叉树，二叉查找树，平衡二叉树，红黑树】节点不是黑色，就是红色（非黑即红）
根节点为黑色
叶节点为黑色（叶节点是指末梢的空节点 Nil或Null）
一个节点为红色，则其两个子节点必须是黑色的（根到叶子的所有路径，不可能存在两个连续的红色节点）
每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点（相同的黑色高度）。