圆柱,圆锥的表面积和体积
在学完有关圆的周长和面积,以及扇形的周长面积之后。我们将提前来探索与之有关图形的性质,知识——圆柱与圆锥。这两个图形与我们前所学的圆形总感觉有相似之处,这次我们将探这两图形的表面积和体积。
首先让我们来看圆柱的表面积。圆柱是如何形成的?它是怎么从一个二维平面形成了立体图形呢?它的底面是一个正圆形,从头到尾一直是这一个圆。它可能是由这个圆沿着与地面垂直的直线运动,中途的运动轨迹所形成的三维立体图形。它的表面积一共分为几部分。一、底面和上底面的面积一样的正圆形。二、圆柱的侧面。上底面加底面,再加侧面面积便是整圆柱的表面积。圆的面积我们会求,但是圆柱侧面的面积怎么求?它是一个曲面,我们没有学过?此时我仔细想了想,如果想直接求,那么如果将曲面变成二维平面,不就可求出来了。那么它的展开图是什么面图形呢?我猜测是一长方形,面积就是长乘宽。但这也只是猜测,还是要实验下可以下判断。于是我剪出了这样的展开图。发现都是长方形,也有几个正方形,但正方形也是特殊的长方形,所以这也说明圆柱侧面的展开图是长方形,所以面积就是长x宽,或者边长的平方就可以了。但我总不能每次遇见一个圆柱都把它给剪开吧!我想看看可不以把刚才得到的公式套进圆柱的信息中,也就是得知这里的长x宽分别在圆柱中是什么。现长方形的高正好是圆柱的高,而长只不过是绕了底面或上底面的圆一圈,所以圆形的周长地就是长。长X宽就等于圆的周长x高度,最后加上两个圆形的面积就可以得到圆柱的表面积了。如图:但最后还是要用字母表示一下,因为这是普遍适用,并不是特例。圆的面积是πr,而圆柱侧面是圆周长乘高,高我们一般用h,圆周长是2πr,最后的公式是:2πrh+2πr2。可是圆锥的表面积是什么呢?首先我们还是看圆锥由哪几部分形成。第一、它的上底面,底面各一个正圆形。第二、圆锥锥体部分展开图的面积。但是锥体的展开图是什么形状呢?首先我第一个想到了三角形,因为它的底是平的,上面的顶点也正好可以做圆锥的顶点,这么说肯定是个三角形呀!但是我还是要用实验来证明一下,是否是对的。但一定要是大数实验,这样才更可靠。我分别剪下几个三角形开始测试,但结果却完全与开始的猜测相反,绝对不能折成圆锥,每一个都是。这时我只能放弃我的第一个猜想,进行下一个猜想。这次我猜它是一个扇形,我还要再次测试多个扇形。这次所有的都成功了,这也说明展开图的确是一个扇形。扇形的面积我们会求,这样我们只用分别出扇形和圆的面积,最后加在一起便可求出圆锥的表面积。扇形的面积有两种方法来计算,首先我准备用圆心角的方法求出扇形的积。如图:这是一个扇形,它的圆心角就是∠aob=n度。n/360xπr2就是此扇形的面积。可是转念一想,这圆心角n的度数是多少,完全无法得之,面积自然无从得之,所以这种方法不可行。此时我只得改变思路,来试一下1/2lr求面积式。1/2弧ab×母线就是扇形面积,但弧ab无法得知呀!可是它其实就是绕圆锥底面的正圆周长一圈,也就是说弧ab等于底面圆周长。这样弧ab就以表整式为πd,母线我们可以用l来表示。如图:最终1/2xπdl+πr2就是圆锥的表面积。这种方法可以顺势得之,很方便实用。
这两位的表面积探索到现在便告一段落了,接下来我们将分别探索两者的体积。首先让我们看一下圆柱的体积,我看到它便觉得是底面积乘高,因为底面沿与地面垂直直线方向平移的运动轨道,便是一个圆柱。而运动长度正好就是它的高,这是我最开始的猜想,但必须证明一下看到底是不是正确的。图:这是一个圆柱,我们以它的上底面(底面)上其中一个圆心为准,将整体平均分成无数个小三角体。如果你分的数量小,每份就是一个扇形,误差很大。但分的越细,那条弧就越接近直线,最终成为直线。现在我们把分成的无数小三角体再分为两组,如图:现在我们将两组合成为一体,其实就是一个长方体,它的积我们会求。长x宽x高。得到的体积就是圆柱体积。我们可以看一下这里的长,宽,高分别是圆柱的什么,从而得到公式。长方形的长就是圆柱上底面(底面)的一半。宽就是他们的半径,而高自然还是圆柱的高。如图:半径可以用r表示,周长一半为1/2πd,高就是h,最终连在一起就是:r×1/2π2rh=πr2h。也就是底面积乘高,与我的猜想一样。这也就是圆柱的体积公式
接下来让我们看一下圆锥的体积如何求。我感觉它的体积和圆柱有着关系,因为它们的底同样是一个正圆形,但如果真的有关系,又是什么关系呢?如果要说有关系,那圆柱与圆锥肯定是要等底等高,我猜想它们之间的关系是,圆柱比圆锥=3:1,因为一样绝不可能,两倍关系又有点少,直觉告诉我应该是三倍。我们不妨亲自实验一下看是不是,如果不是那到底是几倍。但不只要做一个,因为只有大数实验才更加可靠。
现在我要自己做一个这样的实验。一共要作两部分。一,圆柱体2.与圆柱同底等高的圆锥。最后我们将圆锥体内装满细小的体之后,倒入圆柱内,看倒几次可以完全倒满圆柱就是圆锥的几倍。为了更加准确我们要大数实验,周长,母线长度均不同,而且圆心角度数也不一样。如图:
(阴影部份为剪去部伤,白色部为扇形)白色部分的圆心角占整体几分之几,弧长也占整体几分之几。这样我们同时也确定了圆柱上底面和底面的周长,它的直径就是周长÷π,可以就此画出一个直径为周长÷π的圆形。现在只用确定圆锥的高是多少即可完成。如图:
现在的字母h便是圆锥的高,这样同时也得知了圆柱的高,也就是展开的长方形的宽,长就是圆的周长。
【圆柱,圆锥的表面积和体积】这就是那个圆柱。现在分别把圆锥的高,底与圆柱相对比,发现误差非常小,所以现在就可以法实验了。如果选择填充物最好选择空隙小,密度高的物体。因为这样误差更小。首先想到的是水,但是考虑到我们用的材料是纸,会被水浸湿破开。所以我们决定用土,但必须是特别细小的颗粒的散土。我还将石头等杂扔出,将土西压得很细碎,这时事俱备,只欠实验。我将圆锥内堆满土,然向压平倒入圆柱内。第一下完全没有到满,第二下也没有,直到第三次完全倒满。每一个都是这样,所以最终我们达成临时性共识:圆柱比圆锥=3:1(等底等高)也就是说求圆锥的面积就是底面积乘高除二。如图:还可以用字母表示一下S=1/3πr2。可是这只是实验,会有误差,而且每次差个0.1根本看不出来。我们必须用严格的推理证明,得到的答案才准确。但目前我们还没有能力,等以后专门学推理证明时才可以。
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