数据结构与算法|重温算法Day13:二叉树数据结构与算法|二叉树

在计算机科学中，数据的相对大小比绝对的数值重要，出于很多数据比大小的需求以及其他一些需求，就产生了一个抽象的数据结构——二叉树
二叉树可以做很多事情，比如排序、快速查找到某一个数值、根据网站目录结构下载所有网页、组织里的管理结构。所有能够对应到二叉树的问题，都有一些共性，解决它们之间问题的方法是可以触类旁通的。

排序
二叉树可以直接完成排序，因为它有一个很好的性质，就是它左右两个分叉可以和比较大小后的两种结果自然对应起来。
二叉树排序的过程遵循下面两条规则：
1.先来的占据根部，以及靠近顶部层级比较高的位置，后来的放在相对靠下的位置。
2.每当一个分支的根部被占据之后，接下来的数字，是和根部的数字进行比较，小的放到左边分叉中，大的放到右边分叉中。
这样安排得出来的二叉树，里面的数字从左到右自然是从小到大排好序的。
比如我们对（3、5、－2、0、6）这组数排序。
1.把第一个数3放到二叉树的顶端（根部）。
2.把第二个数5拿来，和树根部的那个数3做对比，由于5大于3，就放在右边的叉树中，由于它是右边叉树上的第一个数字，因此就占据了右边叉树根部的位置。
3.把第三个数－2拿来，和根部的那个数3对比一下，这次－2比3小了，于是放在左边。同样，因为它是左边第一个数，因此占了左边叉树的根的位置。
4.把第四个数0拿来，和根部的3对比一下，因为它比3小，所以要放在左边的叉树中。但是，左边叉枝的根部已经被－2占据了，因此0需要放到以－2为根部的左边的叉树下一层的某个位置，至于放在这个叉树的左边还是右边，需要再和－2比较一次，来决定它的位置。由于0比－2大，因此放到了－2的右边。
5.把第五个，也就是最后一个数6拿来，先和根部的3比较一下，发现它比3大，因此放在右边的叉树中，但是右边的叉树根部已经被5占据，没有地方了，于是和右叉树的根结点5比较了一下，发现比5大，因此要放在右叉树的右边。
把二叉树中的数字从左到右取出来即可，最左边的是－2，然后是0，中间根部是3，往右边是5和6。
这样一来，把一堆数字按照一定的规则放到二叉树中，再拿出来，它们就有序了
完全二叉树：除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
链式存储法
每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。
顺序存储法
如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。
如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。
前序遍历，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
后序遍历，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。
遍历的过程是一个递归的过程。遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)

void preOrder(Node* root) { if (root == null) return; print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 preOrder(root->left); preOrder(root->right); }void inOrder(Node* root) { if (root == null) return; inOrder(root->left); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 inOrder(root->right); }void postOrder(Node* root) { if (root == null) return; postOrder(root->left); postOrder(root->right); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 }

二叉树查找：先取根节点，如果它等于要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
二叉查找树的插入操作：如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
二叉查找树的删除操作：
1.如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。
2.如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点。
3.如果要删除的节点有两个节点，需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了）。
支持重复数据的二叉树：
方式1.二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
方式2.把相同的元素统一放在右子树或左子树。
完全二叉树的高度小于等于 log2n。
【数据结构与算法|重温算法Day13:二叉树】和散列表对比优势
1.散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。二叉查找树只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
2.散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，平衡二叉树性能稳定，O(logn)。
3.尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小。
4.散列表的构造比二叉查找树要复杂，如：散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只考虑平衡。