目标：最近在看论文，需要一些基本的公式推理，经常遇到三重积的等式。为了更深入的理解。因此推导一下这类公式。
定义：
向量三重积
a → × ( b → × c → ) = ( a → ? c → ) ? b → ? ( a → ? b → ) ? c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) \cdot\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \cdot\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=(a ?c )?b ?(a ?b )?c
其中 a → = ( a 0 , a 1 , . . . , a n ) \overrightarrow{a}=(a_0,a_1,...,a_n) a =(a0?,a1?,...,an?);
b → = ( b 0 , b 1 , . . . , b n ) \overrightarrow{b}=(b_0,b_1,...,b_n) b =(b0?,b1?,...,bn?);
c → = ( c 0 , c 1 , . . . , c n ) \overrightarrow{c}=(c_0,c_1,...,c_n) c =(c0?,c1?,...,cn?)
在空间向量中一般 n = 3 n=3 n=3
证明，它有两种方法可以证明
第一种是最简单的方式，直接展开左右两边的项。
对于叉乘一般情况下是可以转化为矩阵和向量的乘积。转化表示为下面
S k e w ( a ) = [ 0? a 2a 1 a 20? a 0 ? a 1a 00 ] Skew(a) = \begin{bmatrix} 0 \space \space -a_2 \space \space a_1 \\ a_2 \space \space 0 \space \space -a_0 \\ -a_1 \space \space a_0 \space \space 0 \end{bmatrix} Skew(a)=? ??0?a2?a1?a2?0?a0??a1?a0?0?? ??
因此得到左边公式为：
a → × ( b → × c → ) = s k e w ( a → ) ( s k e w ( b → ) c → ) = [ 0? a 2a 1 a 20? a 0 ? a 1a 00 ] [ 0? b 2b 1 b 20? b 0 ? b 1b 00 ] [ c 0 c 1 c 2 ] = [ 0? a 2a 1 a 20? a 0 ? a 1a 00 ] [ b 1 c 2 ? b 2 c 1 b 2 c 0 ? b 0 c 2 b 0 c 1 ? b 1 c 0 ] = [ ? a 2 ( b 2 c 0 ? b 0 c 2 ) + a 1 ( b 0 c 1 ? b 1 c 0 ) a 2 ( b 1 c 2 ? b 2 c 1 ) ? a 0 ( b 0 c 1 ? b 1 c 0 ) ? a 1 ( b 1 c 2 ? b 2 c 1 ) + a 0 ( b 2 c 0 ? b 0 c 2 ) ] = [ ( a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 0 ? ( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 0 ( a 0 c 0 + a 2 c 2 ) b 1 ? ( a 0 b 0 + a 2 b 2 ) c 1 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 ) b 2 ? ( a 0 b 0 + a 1 b 1 ) c 2 ] = [ ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 0 ? ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 0 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 1 ? ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 1 ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + a 2 c 2 ) b 2 ? ( a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 ) c 2 ] = ( a → ? c → ) ? b → ? ( a → ? b → ) ? c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \\ =skew(\overrightarrow{a})(skew(\overrightarrow{b})\overrightarrow{c}) \\ = \begin{bmatrix} 0 \space \space -a_2 \space \space a_1 \\ a_2 \space \space 0 \space \space -a_0 \\ -a_1 \space \space a_0 \space \space 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \space \space -b_2 \space \space b_1 \\ b_2 \space \space 0 \space \space -b_0 \\ -b_1 \space \space b_0 \space \space 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \space \space -a_2 \space \space a_1 \\ a_2 \space \space 0 \space \space -a_0 \\ -a_1 \space \space a_0 \space \space 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1c_2-b_2c_1 \\ b_2c_0-b_0c_2 \\ b_0c_1-b_1c_0 \end{bmatrix} \\ \\ =\begin{bmatrix} -a_2(b_2c_0-b_0c_2) + a_1(b_0c_1-b_1c_0) \\ a_2(b_1c_2-b_2c_1) - a_0(b_0c_1-b_1c_0) \\ -a_1(b_1c_2-b_2c_1) + a_0(b_2c_0-b_0c_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a_1c_1+a_2c_2)b_0 - (a_1b_1+a_2b_2)c_0 \\ (a_0c_0+a_2c_2)b_1 - (a_0b_0+a_2b_2)c_1 \\ (a_0c_0+a_1c_1)b_2 - (a_0b_0+a_1b_1)c_2 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} (a_0c_0+a_1c_1+a_2c_2)b_0 - (a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2)c_0 \\ (a_0c_0+a_1c_1+a_2c_2)b_1 - (a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2)c_1 \\ (a_0c_0+a_1c_1+a_2c_2)b_2 - (a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2)c_2 \end{bmatrix} = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) \cdot\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) \cdot\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=skew(a )(skew(b )c )=? ??0?a2?a1?a2?0?a0??a1?a0?0?? ??? ??0?b2?b1?b2?0?b0??b1?b0?0?? ??? ??c0?c1?c2??? ??=? ??0?a2?a1?a2?0?a0??a1?a0?0?? ??? ??b1?c2??b2?c1?b2?c0??b0?c2?b0?c1??b1?c0??? ??=? ???a2?(b2?c0??b0?c2?)+a1?(b0?c1??b1?c0?)a2?(b1?c2??b2?c1?)?a0?(b0?c1??b1?c0?)?a1?(b1?c2??b2?c1?)+a0?(b2?c0??b0?c2?)?? ??=? ??(a1?c1?+a2?c2?)b0??(a1?b1?+a2?b2?)c0?(a0?c0?+a2?c2?)b1??(a0?b0?+a2?b2?)c1?(a0?c0?+a1?c1?)b2??(a0?b0?+a1?b1?)c2??? ??=? ??(a0?c0?+a1?c1?+a2?c2?)b0??(a0?b0?+a1?b1?+a2?b2?)c0?(a0?c0?+a1?c1?+a2?c2?)b1??(a0?b0?+a1?b1?+a2?b2?)c1?(a0?c0?+a1?c1?+a2?c2?)b2??(a0?b0?+a1?b1?+a2?b2?)c2??? ??=(a ?c )?b ?(a ?b )?c
证明完毕。
第二种方法: 具有几何意义的方式。它具有启发式的那种。建议使用这种方式来证明上面的三重积的等式。
为了能够方便大家理解，画出图像，得到下图
文章图片
因为叉乘的积，是两个向量的垂直向量。比如 b → × c → \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} b ×c ,它是垂直于 b → , c → \overrightarrow{b},\overrightarrow{c} b ,c 的两个向量所在的平面。
同时任意的向量 a → \overrightarrow{a} a 和 b → × c → \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} b ×c 叉乘。得到的向量一定是平行于 b → , c → \overrightarrow{b},\overrightarrow{c} b ,c 的两个向量所在的平面。(红色的线段表示)。因此可以写成如下：
a → × ( b → × c → ) = m b → + n c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=mb +nc
因为红色向量 a → × ( b → × c → ) \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) a ×(b ×c )和 a → \overrightarrow{a} a 垂直。因此：
a → ? ( a → × ( b → × c → ) ) = 0 = > a → ? ( m b → + n c → ) = 0 = > m ( a → ? b → ) + n ( a → ? c → ) = 0 \overrightarrow{a} \cdot(\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})) = 0 \\ =>\overrightarrow{a} \cdot(m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}) = 0 \\ =>m(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + n(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})=0 a ?(a ×(b ×c ))=0=>a ?(mb +nc )=0=>m(a ?b )+n(a ?c )=0
为了解决上面的公式，我们使用构造法，构造两个数使得上面的公式成立。构造如下：
存在 p ∈ R p\in R p∈R;
且 m = p ( a → ? c → ) m=p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) m=p(a ?c );
n = ? p ( a → ? b → ) n=-p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) n=?p(a ?b ),使得上面的公式恒成立。为了方便理解，构造的项带入公式 m ( a → ? b → ) + n ( a → ? c → ) = 0 m(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + n(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})=0 m(a ?b )+n(a ?c )=0
m ( a → ? b → ) + n ( a → ? c → ) = 0 = p ( a → ? c → ) ( a → ? b → ) ? p ( a → ? b → ) ( a → ? c → ) = 0 m(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + n(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})=0 \\ =p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})-p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})=0 m(a ?b )+n(a ?c )=0=p(a ?c )(a ?b )?p(a ?b )(a ?c )=0
代入的等式可以看到上面是一个中恒等式。
上面的等式与向量 a → \overrightarrow{a} a ,b → \overrightarrow{b} b ,c → \overrightarrow{c} c 取值无关。
因此将 m = p ( a → ? c → ) m=p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) m=p(a ?c );
n = ? p ( a → ? b → ) n=-p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) n=?p(a ?b )，代入到 a → × ( b → × c → ) = m b → + n c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=mb +nc ,得到如下公式：
a → × ( b → × c → ) = m b → + n c → = p ( a → ? c → ) b → ? p ( a → ? b → ) c → \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}=p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-p(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} a ×(b ×c )=mb +nc =p(a ?c )b ?p(a ?b )c
因为上面公式和向量 a → \overrightarrow{a} a ,b → \overrightarrow{b} b ,c → \overrightarrow{c} c 无关，可以采用简单的向量 a → = [ 1 , 1 , 1 ] \overrightarrow{a}=[1,1,1] a =[1,1,1];
b → = [ 0 , 1 , 0 ] \overrightarrow{b}=[0,1,0] b =[0,1,0];
c → = [ 0 , 0 , 1 ] \overrightarrow{c}=[0,0,1] c =[0,0,1]
带入相应的简单的公式，就可以得到 p = 1 p=1 p=1
证明完毕。
【机器学习|向量三重积的等式推导证明】参考资料如下：
https://www.youtube.com/watch?v=4U5fkwYDvZg
推荐阅读
- 矩阵|Rodrigues（旋转矩阵的向量表达）
- 矩阵|矩阵的行列式的计算及其源码
- 前沿技术|18张图，直观理解为什么神经网络这么有效（）
- 人工智能|一种分布式深度学习编程新范式（Global Tensor）
- 深度学习|训练yolov5过程中报错RuntimeError: result type Float can‘t be cast to the desired output type __int64
- 机器学习|吴恩达机器学习笔记---Octave教程(Python实现)
- ACM学习|ACM部分学习路线
- 神经网络|12.神经网络模型
- 机器学习|吴恩达机器学习笔记---线性代数复习