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矩阵|Rodrigues（旋转矩阵的向量表达）

机器学习矩阵线性代数

目的：最近看论文，遇到Rodrigues公式，一直没有怎么推导。因此自己推导一遍。
在理解Rodrigues公式，之前需要理解旋转向量的表达方式。
旋转矩阵的向量表达是基于欧拉定理推导的，它有三个参数。而它可以转化为旋转矩阵。这种转化为旋转矩阵的方式被称为Rodrigues公式。
Rotation Vectors
普通认知中，旋转矩阵是 3 × 3 3\times3 3×3的矩阵。这类矩阵有众多约束，具体哪些约束可以查阅资料（后续自己补上）。它只有三个自由度。只要知道那三个参数，剩下的6个参数能够计算，它的表达容易。在一般优化中，使用 Rotation matrix不方便，矩阵的计算复杂且耗时。
定义的来源：
在几何旋转中，任意一个旋转都可以表达为绕着一根轴旋转一定的角度。因此表达方式可以表示为:一根旋转的向量 u → \overrightarrow{u} u ,和其旋转的角度 θ \theta θ。因此它可以用4个参数来决定。
假设向量 r → \overrightarrow{r} r 为主轴向量，它的旋转的向量从向量 p → \overrightarrow{p} p ?,旋转角度为 θ \theta θ。如下图：
矩阵|Rodrigues（旋转矩阵的向量表达）
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因为 o → \overrightarrow{o} o 为原点。简化表达 o p → = p → \overrightarrow{op}=\overrightarrow{p} op ?=p ?,其它也使用类似的表达。
从图上可以看到，向量 p → \overrightarrow{p} p ?绕着轴 u → \overrightarrow{u} u 旋转的时候，只和垂直于向量 u → \overrightarrow{u} u 有关。因此按照向量 u → \overrightarrow{u} u 把它拆分为 a → \overrightarrow{a} a , b → \overrightarrow{b} b ,它们分别平面于向量 u → \overrightarrow{u} u 和垂直于向量 u → \overrightarrow{u} u 。拆分了两个向量，需要计算两个向量。假设 u → \overrightarrow{u} u 和 p → \overrightarrow{p} p ?的夹角为 σ \sigma σ,因此可以得到
c o s σ = u → ? p → ∣ u → ∣ ∣ p → ∣( 1 ) cos\sigma=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{p}|} \space \space\space\space (1) cosσ=∣u ∣∣p ?∣u ?p ??(1)
因为 u → \overrightarrow{u} u 为单位向量。因此可以得到
a → = u → ∣ p → ∣ c o s σ = u → ? p → ∣ u → ∣ ∣ p → ∣ ∣ p → ∣ u → = ( u → ? p → ) u → = u → ( u → ? p → )( 2 ) \overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}|\overrightarrow{p}|cos\sigma=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{p}|}|\overrightarrow{p}|\overrightarrow{u}=(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{u} =\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{p}) \space \space\space\space(2) a =u ∣p ?∣cosσ=∣u ∣∣p ?∣u ?p ??∣p ?∣u =(u ?p ?)u =u (u ?p ?)(2)
通过拆开和合并 ( 2 ) (2) (2)写成向量的形式可以得到：
a → = u → ( u → ? p → ) = u → u → T p →( 3 ) \overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{p})=\overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T\overrightarrow{p} \space \space\space\space(3) a =u (u ?p ?)=u u Tp ?(3)
对于垂直于向量 u → \overrightarrow{u} u 的分量 b → \overrightarrow{b} b
b → = p → ? a → = ( 1 ? u → u → T ) p →( 4 ) \overrightarrow{b}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=(1-\overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T)\overrightarrow{p} \space \space\space\space(4) b =p ??a =(1?u u T)p ?(4)
因为从向量 b → \overrightarrow{b} b 旋转到向量 b ′ → \overrightarrow{b'} b′ ,需要另一个向量 c → \overrightarrow{c} c ，它是垂直于向量 u → \overrightarrow{u} u 和向量 p → \overrightarrow{p} p ?所在的平面，且它的长度和向量 b → \overrightarrow{b} b 一样。
满足： ∣ b → ∣ = ∣ c → ∣ |\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}| ∣b ∣=∣c ∣
通过三角行垂直公式得到：
∣ b → ∣ = ∣ u → ∣ ∣ p → ∣ s i n σ( 5 ) |\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{p}|sin\sigma \space \space\space\space(5) ∣b ∣=∣u ∣∣p ?∣sinσ(5)
通过叉乘，可以设计向量 c → \overrightarrow{c} c :
c → = u → × p → = ( ∣ u → ∣ ∣ p → ∣ s i n σ ) c → ∣ c → ∣ = ( ∣ u → ∣ ∣ p → ∣ s i n σ ) n →( 6 ) \overrightarrow{c} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{p} =(|\overrightarrow{u}|| \overrightarrow{p}|sin\sigma) \cfrac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = (|\overrightarrow{u}|| \overrightarrow{p}|sin\sigma)\overrightarrow{n} \space \space\space\space(6) c =u ×p ?=(∣u ∣∣p ?∣sinσ)∣c ∣c ?=(∣u ∣∣p ?∣sinσ)n(6)
其中 n → = c → ∣ c → ∣ \overrightarrow{n}=\cfrac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} n =∣c ∣c ?单位向量。因此 ∣ c → ∣ = ∣ u → ∣ ∣ p → ∣ s i n σ |\overrightarrow{c}| =|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{p}|sin\sigma ∣c ∣=∣u ∣∣p ?∣sinσ
通过计算它们的模，发现它们是相等的。
上面的公式 ( 6 ) (6) (6)，将在下一篇blog介绍。后面更新它们的链接
因此可以得到 p → \overrightarrow{p} p ?旋转后得到的向量 p ′ → \overrightarrow{p'} p′ ?为：
b ′ → = b → c o s θ + c → s i n θ( 7 ) \overrightarrow{b'}=\overrightarrow{b}cos\theta+\overrightarrow{c}sin\theta \space \space\space\space(7) b′ =b cosθ+c sinθ(7)
然后通过向量加法
p ′ → = a → + b ′ → = a → + b → c o s θ + c → s i n θ = u → u → T p → + ( 1 ? u → u → T ) p → c o s θ + ( u → × p → ) s i n θ = [ I c o s θ + ( 1 ? c o s θ ) u → u → T + u → × s i n θ ] p →( 8 ) \overrightarrow{p'}=\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b'}= \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}cos\theta+\overrightarrow{c}sin\theta \\ = \overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T\overrightarrow{p}+(1-\overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T)\overrightarrow{p}cos\theta+(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{p})sin\theta \\ = [Icos\theta+(1-cos\theta)\overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T+\overrightarrow{u} \times sin\theta]\overrightarrow{p} \space \space\space\space(8) p′ ?=a +b′ =a +b cosθ+c sinθ=u u Tp ?+(1?u u T)p ?cosθ+(u ×p ?)sinθ=[Icosθ+(1?cosθ)u u T+u ×sinθ]p ?(8)
通过公式 ( 8 ) (8) (8)可以得到一个向量 p → \overrightarrow{p} p ?围绕向量 u → \overrightarrow{u} u 得到旋转 θ \theta θ新的向量 p ′ → \overrightarrow{p'} p′ ?的公式,其中 R = I c o s θ + ( 1 ? c o s θ ) u → u → T + u → × s i n θ R=Icos\theta+(1-cos\theta)\overrightarrow{u}\overrightarrow{u}^T+\overrightarrow{u} \times sin\theta R=Icosθ+(1?cosθ)u u T+u ×sinθ。它也是Rodrigues公式。
还有一种特殊情况，如果 u → = [ 0 , 0 , 0 ] T \overrightarrow{u}=[0,0,0]^T u =[0,0,0]T,得到的旋转矩阵为 I I I
上面的公式也可以反推（因为它不太常用），后面再补上。
【矩阵|Rodrigues（旋转矩阵的向量表达）】参考资料为：
Vector Representation of rotations的论文。

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