S3：有 。还有BC的中点与其他任一边上的中点的连线 。
（师在图1上作EF，DF 。）
T：对了，DF、EF也是三角形的中位线 。请同学们看课本第155页上的第一行，这里说三角形的中位线和三角形的中线不同，请问：不同在哪里？（见S4举手 。）请S4回答 。
S4：中线是连接三角形一个顶点和它的对边的中点的线段 。
T：对了，虽然它们都是线段，但它们连接的点不同 。中位线是连接两边中点的线段，而中线是连接一个顶点和它的对边的中点的线段 。（边画图2，边说明 。）
图2
这是一节概念课教学 。如果说概念的认知顺序是先“过程”再“对象”的话，那么在这节课中，“中位线”概念的教学顺序则只有“对象”没有“过程” 。概念的认知顺序需要有过程性，原因在于“概念在过程阶段表现为一系列的固定步骤，具有操作性，相对直观，容易仿效学会” 。〔4〕从教学片段看，教学仅仅停留在“对象”——中位线的定义上，而缺乏“过程” 。关于中位线定义，教师教学有这样三个阶段，第一阶段是“读”，让学生“读”中位线的定义，在教学中教师提出“什么叫做三角形的中位线”并且“教师板书学生记”，然后“请同学们先看书，再齐读”，“全班齐读三角形的中位线定义”时教师“在黑板上画”；第二个阶段是“识”，让学生根据“读”来识别三角形中哪条线段是中位线，在教学中教师“请S2指出△ABC的中位线”；第三个阶段是“辨”，让学生根据“读”和“识”的结果和感受辨别中位线和中线的区别，教师的教学行为是提出“三角形的中位线是直线，是射线，还是线段呢”和“请同学们看课本第155页上的第一行，这里说三角形的中位线和三角形的中线不同，请问不同在哪里” 。教学停留在中位线定义的文字上，没有从中位线的形成着手，也没有把中位线在几何中的地位和作用说明清楚 。三角形中位线在几何题证明中中点的作用最大，教学中若强调中点比强调定义的文字和形式更节约时间也更能把重点突出出来，教学还更清晰 。
四、教学结果：对数学理解中的自动化行为缺乏教育学反思
案例4：“有理数运算”应用题教学
例：一批面粉10包，每包标准重量为25 kg，通过称量，发现这10包与标准线位置的差如下表：
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
与标准线位置差
+1
-0.5
-1.5
+0.75
-0.25
+1.5
-1
+0.5
0
+0.5
求这批面粉的总重量 。
教师的讲解如下 。
解：求代数和
（＋1）＋（－0．5）＋（－1．5）＋（0．75）＋（－0．25）＋（＋1．5）＋（－1）＋（＋0．5）＋0＋（＋0．5）＝1，我们可以求得总重量就是：
25×10＋1＝251（kg） 。
这是一节初中一年级数学课中的一部分 。从数学的角度来看，整道题的求解无懈可击 。但是在实际课堂上这里有两个地方教师没有向学生交代清楚：第一是例题中表格里的正负号的意义 。正号表示超过标准重量的意思，（＋1）就是表示超出标准重量1 kg，也就是这包面粉的重量为26 kg；负号表示低于标准重量的意思，（－1）就表示低于标准重量1 kg，也就是这包面粉重量为24 kg 。这也能加深学生对正负数的概念的理解，并且是结合实际意义进行理解 。所以，这个解释很重要 。第二是例题讲解中对“25×10＋1＝251（kg）”中“25×10”的理解 。“25×10”是一个抽象的算式，25 kg是一个观念中的重量，因此教师应该把这一点向初一的学生讲解清楚，而实际教学中教师没有做到 。本人在课堂上就抽了三个学生询问了一下，没有学生知道这是为什么 。
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