无理数是确定的数吗?如果确定,小数位为啥无穷尽呢？ _经验知识

从哲学上来看。矛盾是无处不存在的。即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾。例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中。还有许多深刻的矛盾。例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

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希帕索斯的冤案,无理数的诞生
在古希腊。有一位了不起的数学家。叫做毕达哥拉斯。他创办了一所学院“毕达哥拉斯学院” 。教导了众多的学生。从而形成了“毕达哥拉斯学派” 。他认为：“数是世界的生存法则。是主宰生死的力量” 。因而。他们像崇拜上帝一样重视并推崇数学。
面对毕达哥拉斯提出的“数只有整数和分数” 。他的学生希帕索斯疑惑：边长为1的正方形。它的对角线为什么不能用整数之比来表达？

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【无理数是确定的数吗?如果确定,小数位为啥无穷尽呢？】为了维护学派威信。他们严封帕索斯的发现。但是“纸是包不住火的” 。该发现还是被许多人知道。学派“忠实粉”追查出是帕索斯后。认为其背叛老师。违背信仰。他们残忍地将帕索斯扔进了地中海。
为了纪念他。人们就把希帕索斯发现的这个矛盾。叫做希帕索斯悖论。发现的“新数”称为“无理数” 。正如后人所说的。“发现无理数的人可以被消灭。无理数本身却不能被杀戮” 。
此外。这场“冤案”的出现。证明直觉和经验不一定靠得住。推理证明才是可靠的。至此以后。希腊人开始由重视计算转向重视推理。由重视算术转向重视几何学。并建立几何公理体系。

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无理数小数表示的无穷性
要写出一个无理数。需要将它的所有小数罗列出来。然而。这个数列的一个鲜明特点就是无穷性：如果数列是有穷的或是无限循环的。就证明这个无理数可以被写成两个整数的比。那么这就应当是一个有理数。
无穷性的特点只体现在小数的书写中。但是它说明了一个事实：这些数字的确是一个无穷过程的结果。假设我们想确认两个无理数是否相等。那就必须将两个无理数的小数一位一位地比较——这将是一个无止境的工作。
对无理数的所有运算得到的结果都是无理数。无理数既是有穷的也是无穷的。这取决于我们的思考角度：从长度角度来说。线段是有穷的；但从构成线段的点的数量角度来说。线段又是无穷的。
1837年。数学家Gustav Lejeune Dirichlet发现。只要你对误差不太在意。就很容易找到无理数的近似值。他证明了对于每一个无理数来说。都存在无穷多个分数与这个数字相近。
1941年。物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个简单的猜想来回答这些问题。当要对无理数进行近似时。首先要选一个无限长的分母序列。这可以是一个任意数的列表。比如所有奇数、所有偶数、所有10的倍数。或者所有质数等等的序列。因此。在Duffin-Schaeffer猜想中含有一个专门用来计算每个分母可以给出的唯一分数（最简分数）的数量的项。这个项被称为欧拉函数。
但直到到十九世纪下半叶。实数理论建立后。无理数本质被彻底搞清。无理数在数学中合法地位的确立。才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。实数理论的建立。则有赖于微积分的发展。因为。微积分是建立在极限运算基础上的变量数学。而极限运算。需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。变量数学独立建造完备数域的历史任务。终于在19世纪后半叶。由魏尔斯特（Weierstrass）。戴德金（R.Dedekind）、康托（G.Cantor）等人加以完成了。
1872年。是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年。克莱因（F.Kline）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm）。魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年。实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论。以及魏尔斯特拉的“有界单调序列”理论。同时在德国出现了。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义。从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功。使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平。无理数不再是“无理的数”了。古希腊人的算术连续统的设想。也终于在严格的科学意义下得以实现。