无理数是确定的数吗?如果确定,小数位为啥无穷尽呢？( 二 )

文章插图
无理数可数吗？或者说实数可数吗？
答案是：NO
康托尔运用对角线法来论证这一点。证明过程很短。却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）
考虑整个实数集是否可数。我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：
0.1598545445……
0.6589745454……
0.5968974132……
0.9887946456……
0.3521587487……
0.1659842412……
……
以上的数随便写的。此时康托尔问。0.267865……在什么位置？
这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1 。取第二个数的第二位小数加1 。取第三个数的第三位小数加1 。取第四个数的第四位小数加1…… 。也就是上面数中加粗的数字加1 。
假如0.267865……在第n个位置上。则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1 。
简单说。这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1 。显然这是不可能存在的！

文章插图
所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来。当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。
像这样的无穷称为不可数无穷。不管你承认还是不承认。同样是无穷。也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。
在数轴上任取一段线段。由这些连续着的点构成的集合均为不可数集。又称连续统。基数记为c 。既然已经明确了有理数代表着可数无穷。而无理数则代表着不可数无穷。那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说。?0与c谁更大呢？

文章插图
现在我们给一个数填充小数位。有无数个小数位需要我们填充。而填充的数字都是随机取的。所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0 。借助于这样一个想法。无理数不仅比有理数多。而且多得多！
怎么样能够比无穷还要多？对于集合{1} 。它有两个子集：空集、{1} 。子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2} 。它有四个子集空集、{1}、{2}、{1 。2} 。子集组成的集合的基数为2^2 。以此类推。若一个集合的基础为n 。则其子集构成的幂集基数是2^n 。
那如果原集合的基数是?0呢？
事实上。康托尔已经证明出。c=2^?0 。这里的?0是无穷大的。所以能想象c有多大吗？

文章插图
康托尔所做的事情不止于此。他还猜想。在?0和c之间不存在其他的无穷。即在?0后的下一个无穷量便是c 。即c=?1（?1即?0后一个无穷量）。这就是著名的“连续统假说” 。1900年世界数学家大会上。希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。
说简单点。任何数在实数数域上都是唯一确定的。只不过有理数的小数部分是循环的。无理数不循环而已。

文章插图
从无理数和有理数的分布上看。在数轴上。无理数的个数是不可数的。有理数的个数是可数的。无理数的可数性由黎曼最早证明；这个性质在某种程度上说明了无理数远远多于有理数。如果我们在数轴上随机选取一点。那么这点对应的数几乎肯定是无理数。
结语
由于第一次数学危机的发生和解决。希腊数学则走上完全不同的发展道路。形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
其他观点：
無理數當然是確定的數。因為它在數軸上有自己確定的位置。數軸上的每一個點都表示一個確定的實數。包括無理數在內。每一個實數都可以用數軸上一個確定的點來表示。至於為什麼是無限小數。只是一個表達方式的問題。這和無理數的定義有關。請深入地瞭解一下無公度線段。就可以知道它為什麼是無限小數了。把正方形的一條邊作為單位長度。用以度量該正方形對角線的長度。這個度量過程永遠不會結束。於是就有了無限不循環小數。正方形的邊和對角線就是無公度線段。
其他观点：
如杲把这个无理数定为\"1 。其他的就变为整数了。是因为我们确定度量单位时造成的。