如果递归关系的次数为1, 则称为线性关系。
具有常数系数的线性递归关系的一般形式为
C0 yn + r + C1 yn + r-1 + C2 yn + r-2 +?+ Cr yn = R（n）
其中C0, C1, C2 …
Cn是常数, R（n）是自变量n的相同函数。
满足给定方程的任何函数中递归关系的解。
具有常数系数的线性齐次递归关系：
当且仅当R（n）= 0并且它的阶数为n时, 该方程才被称为线性齐次差分方程。
如果R（n）≠0, 则该方程称为线性非齐次差分方程。
例1：方程ar + 3 + 6ar + 2 + 12ar + 1 + 8ar = 0是3阶线性非齐次方程。
例2：方程ar + 2-4ar + 1 + 4ar = 3r + 2r是2阶线性非齐次方程。
具有常数系数的线性齐次差分方程为
C0 in + C1 in-1 + C2 in-2 +?…
…
+ Cr yn-r = 0 …
…
.等式（i）
其中C0, C1, C2 …
. Cn是常数。
方程（i）的解形式为, 其中∝1是特征根, A是常数。
将A ∝ K的值代入公式（1）中, 得到
C0 A∝K + C1 A∝K-1 + C2 A∝K-2 +?…
. + Cr A∝K-r = 0 …
…
.方程（ii）
简化方程式（ii）之后, 我们得到
C0∝r + C1∝r-1 + C2∝r-2 +?Cr = 0 …
…
…
.（iii）
式（iii）被称为差分式的特征式。
如果∝1是特征方程的根之一, 那么它是差分方程的齐次解。
为了找到线性齐次差分方程的解, 我们讨论了以下四种情况：
情况1：如果特征方程具有n个不同的实根, 则∝1, , 2, ∝3, …
…
. ∝n。
【常数系数的线性递推关系】因此, 方程（i）的所有解。
而且, 我们都是方程式（i）的解。解决方案的总和也是解决方案。
因此, 差分方程的齐次解为
情况2：如果特征方程式具有重复的实根。
如果∝1 = ∝2, 则（A1 + A2 K）也是一个解。
如果∝1 = ∝2 = ∝3, 则（A1 + A2 K + A3 K2）也是一个解。
同样, 如果根∝1重复n次, 则。
（A1 + A2 K + A3 K2 + …
…
+ An Kn-1）
齐次方程的解。
情况3：如果特征方程具有一个假想根。
如果α+iβ是特征方程的根, 则α-iβ也是根, 其中α和β是实数。
因此, （α+iβ）K和（α-iβ）K是方程式的解。这意味着
（α+iβ）K A1 +α-iβ）K A2
也是特征方程的解, 其中A1和A2是要确定的常数。
情况4：如果特征方程具有重复的虚根。
当特征方程具有重复的假想根时,
（C1 + C2 k）（α+iβ）K +（C3 + C4 K）（α-iβ）K
是齐次方程的解。
示例1：求解差分方程ar-3ar-1 + 2ar-2 = 0。
解：特征方程由下式给出
s
-3s + 2 = 0或（s-1）（s-2）= 0
?s = 1, 2
因此, 方程的齐次解为
一种
= C
+ C
.2
.
示例2：求解差分方程9yK + 2-6yK + 1 + yK = 0。
解决方案：特征方程为
9秒
-6s + 1 = 0或（3s-1）
=0
?s =
和
因此, 方程的齐次解由yK =（C1 + C2 k）给出。
例3：求解差分方程yK-yK-1-yK-2 = 0。
解：特征方程为s2-s-1 = 0 s =
因此, 方程的齐次解为
示例4：求解差分方程yK + 4 + 4yK + 3 + 8yK + 2 + 8yK + 1 + 4yK = 0。
解决方案：特征方程为s4 + 4s3 + 8s2 + 8s + 4 = 0（s2 + 2s + 2）（s2 + 2s + 2）= 0 s = -1±i, -1±i
因此, 方程的齐次解为
yK =（C1 + C2 K）（-1 + i）K +（C3 + C4 K）（-1-i）K
