Golang实现快速求幂的方法详解 Golang实现快速求幂的方法详解

今天讲个有趣的算法：如何快速求nm，其中n和m都是整数。
为方便起见，此处假设m>=0，对于m< 0的情况，求出n|m|后再取倒数即可。
另外此处暂不考虑结果越界的情况（超过 int64 范围）。
当然不能用编程语言的内置函数，我们只能用加减乘除来实现。
n的m次方的数学含义是：m个n相乘：n*n*n...*n，也就是说最简单的方式是执行 m 次乘法。
直接用乘法实现的问题是性能不高，其时间复杂度是 O(m)，比如 329要执行29次乘法，而乘法运算是相对比较重的，我们看看能否采用什么方法将时间复杂度降低。
设m = x + y + z（x、y、z 都是整数），我们知道有如下数学等式： nm= nx+y+z = nx?ny?nz。
也就是说，如果我们已经知道 nx、ny、nz的值，是不是就可以直接用他们相乘得出 nm的结果？这样的话乘的次数就大大降低了。
于是问题就变成应该将 m 拆成怎样的几个数的和。
因为计算机是玩二进制的，我们尝试着将这些数跟 2 扯上联系（以 2 为底），看看会不会有奇迹发生。
我们看看具体的例子：329。
我们将29做这样的拆分：29 = 16 + 8 + 4 + 1。
这个拆分有什么特点呢？右边的数都是 2 的 X 次方（24+23+22+20）。
我们把上面的拆分带进公式：329=316?38?34?31。
那我们能不能知道 316、38、34、31是什么呢？
我们不用计算就知道31是什么——但仅此而已。
不过我们可以用 31自乘 4 次的到34；然后再用 34自乘得到38；再通过38自乘得到316。
好像有点感觉了——我们每做一次乘法，就能将结果翻倍（如 34自乘就变成 34?34=38）。
如此，虽然也要多次乘法，但乘的次数从29次降到9次！
然后我们再回头看看上面的拆分：
29 =16+8+4+1=24+23+22+20= 1?24+1?23+1?22+0?21+1?20。
这不就是学校学的二进制转十进制吗（29 的二进制是 11101）？
329=316?38?34?31是说：取 29 的二进制表示中所有值是 1 的位，算出它们的指数值并相乘就得到最终的值。
我们用 go 语言实现一下：

// 求 a 的 n 次方// a、n 是非负整数func Pow(a,n int64) int64 { // 0 的任何次方都是 0 if a == 0 {return 0 } // 任何数的 0 次方都是 1 if n == 0 {return 1 } // 1 次方是它自身 if n == 1 {return a } // 用滚雪球的方式计算幂 // 雪球初始值是 1 var result int64 = 1 // 滚动因子初始化为 a 的 1 次方（a 自身） factor := a // 循环处理直到 n 变成 0（所有的二进制位都处理完了） for n != 0 {// 跟 1 做与运算，判断当前要处理的位是不是 1// 之所以是直接跟 1 做与运算，因为后面每处理一轮都将 n 右移了一位，保证每次要处理的位都在最低位if n & 1 != 0 {// 当前位是 1，需要乘进去result *= factor}// 每轮结束时将滚动因子自乘// 因为每行进一轮，指数都翻倍，整体结果就是自乘// 比如本轮因子是 2**4，下一轮就是 2**8// 2**8 = 2**(4+4) = 2**4 * 2**4// （** 表示指数）factor *= factor// n 右移一位，将下一轮要处理的位放在最低位n = n >> 1 } return result}

有什么用呢
很多语言内置的 pow 函数都只接受浮点数，浮点数的运算是非常重的，如果我们的程序需要频繁计算整数的幂，就可以采用 quick pow 算法代替语言内置的幂函数以提升性能。
我们对 go 语言内置的 math.Pow 和 quick pow 算法做个性能测试对比一下。

// 测试 3 的 29 次方的性能测试var benchPowB int64 = 3var benchPowP int64 = 29// 上面的 quick pow 算法func BenchmarkQuickPow(b *testing.B){ for i := 0; i < b.N; i++ {algo.Pow(benchPowB, benchPowP) }}// go 语言 math 包的 Pow 方法，只接受 float64 类型func BenchmarkInnerPow(b *testing.B){ x := float64(benchPowB) y := float64(benchPowP) for i := 0; i < b.N; i++ {math.Pow(x, y) }}// 用简单乘法实现（3 自乘 29 次）func BenchmarkSimpleMulti(b *testing.B) { for i := 0; i < b.N; i++ {var r int64 = 1var j int64 = 0for ; j < benchPowP; j++ {r *= benchPowB} }}

测试结果：

goos: darwin
goarch: amd64
cpu: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz
BenchmarkQuickPow-83578977163.373 ns/op
BenchmarkInnerPow-83916249229.30 ns/op
BenchmarkSimpleMulti-81210667319.549 ns/op
PASS
okcommand-line-arguments4.894s

从性能测试结果看，quick pow 算法比简单乘法快了好几倍，比 math.pow 快了近 10 倍。
所以，如果程序只需要求整数幂，而且能确保计算结果不会越界时，可以考虑使用 quick pow 算法代替语言内置的浮点函数。
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