如何使用数学证明无理数数量多于有理数？ _经验知识

为了方便。数学上将有理数集记为 Q 。将实数集记为 R 。从实数中除去有理数剩下的就是无理数。因此无理数记为 R\Q 。其中 \ 表示差集。即。从 R 除去 Q 中元素的意思：

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同时。用 |X| 表示集合 X 中元素个数。例如若 X = {Tom, and, Jerry} 。则 |X| = 3 。这样以来。题目中：“无理数比有理数多” 。可被表述为：
|R\Q| > |Q| ①
可是。我们知道：有理数和无理数的个数都是无穷多个。即。|Q| = |R\Q| =∞ 。那么问题来了：对于两个无穷大又如何比较大小呢？也就是说。如何使得①对于无穷集合有意义？
这个问题。最早欧拉大神就研究过。为此不惜规定自然数之和为 -1/12 。但依然并没有找到规律。后来是康托尔（Cantor）找到了解决问题的金钥匙——映射。
映射。记为 f: X → Y。它描述从集合 X 到集合 Y 的一种关系。即。
对于 X 中的每个元素 x 在 Y 中有且只有一个元素 y = f(x) 与之对应。②

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康托尔通过对映射关系的细分。来对 ① 进行定义：
单的：X 中的不同元素在 Y 中对应不同元素；

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满的：Y 中的每个元素都有 X 中的至少一个元素与之对应；

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这说明。在统计 Y 中元素个数的过程中。Y 中每数一个元素 y 都会有 X 中的 y 对应的至少一个元素 x 跟着计数。而且根据 ② 。不会发生同一个 x 计数两次的情况。于是。我们认为： Y 的元素个数不会大于 X 的元素个数。即。|X| ≥ |Y|；
双的：既是单的又是满的；

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这时 X 和 Y 中的元素一一对应。因为 |X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y| 。
注：高中数学课本上。分别称单的、满的、双的映射为。单射、满射、双射。
因为映射对于有限集合和无限集合同时有效。于是。用映射给出的① 的定义。对于有限集合和无限集合同时有效。这样就绕开比较无穷集合大小的的纠结。
有了映射这个利器后。虽然 Q 和 R\Q 是无穷集合。但是只要找到它们之间的映射。就可以根据映射关系的细分来判断它们之间的大小关系了。
然后。利用自然数集作为标尺来证明。
所有自然数（包括 0）组成的集合记为 ω 。对于任意集合 X 。若 |X| ≤ |ω| 则称 X 可数。否则。即 |X| > |ω| 则称 X 不可数。
集合 X 可数就意味着。存在双射 f: N → X 。使得 X 中元素和自然数的全体或部分 N = {0, 1, 2, ..., n, ...}一一对应 f: N → X。于是就可以以 N 中自然数为下标将 X 的元素排成一列：

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称 X 可列。反之亦然。这说明。X 可列必然 X 可数。X 可数必然 X 可列。
先证明了 Q 可数：
任何正有理数数都可表示为两个正整数的比值。因此我们可以建立下表：

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沿着。箭头的路线。将重复的正有理数删除。则所有正有理数数组成一个序列：

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于是可以建立自然数集 ω 和有理数集 Q 之间的一一对应关系：

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这就证明了 |Q| = |ω| 。即。Q 可数。
再证明无理数 R\Q 不可数：
考虑 (0, 1) 之间的无理数。将它们写成无限不循环小数。假设它们可数。则可列。于是将它们排成一竖列如下：

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接着我们将构造一个新的无理数：

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构造过程如下：
如果 a? 的第1位小数 a?? ≠ 6 则b 的第1位小数取 b? = 6 。否则取 b? = 9；
接着。沿着竖列向下。找到无理数 a?? 。满足。它的第1位小数a??? = b? 。如果 a?? 的第2位小数 a???≠ 6 则b 的第2位小数取 b? = 6 。否则取 b? = 9；
接着。沿着竖列向下。找到无理数 a?? 。满足。它的第2位小数a??? = b? 。如果 a?? 的第3位小数取 a???≠ 6 则b 的第3位小数取 b? = 6 。否则取 b? = 9；