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如何使用数学证明无理数数量多于有理数？( 三 )

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其他观点：
能证明无理数的数量多于有理数 。但没有什么简单的证明 。因数学本身就不简单 。
无理数、有理数都是无穷多个 。为什么无理数数量会多于有理数呢？一个无穷多比另一个无穷多是什么意思？这个还是可以简单地、粗略地 。不严密地说明一下的 。
【如何使用数学证明无理数数量多于有理数？】

如何使用数学证明无理数数量多于有理数？

文章插图
既然“可数”就好办了 。那挨个发号 。第一个分数1号 。第二个呢2号 。以此类推把所有分数都编上号 。形成一个可数的无穷集合 。
所有可数的无穷集合中的元素都是一样多的 。整数、偶数、有理数他们统统和自然数一样多 。因为他们每个数都可以对应一个自然数（编号） 。
把1号到最后一号的分数都加上一个无理数 。比如根号二 。那么得到一个无理数可数无穷集合 。集合元素数量和有理数集合元素是一样多 。换个无理数 。比如根号三 。再重复上述工作 。又得到一个无理数集合 。元素数量还是和有理数集合元素数量一样多 。不断地更换无理数 。得到无穷多个无理数集合 。显然无理数比有理数多得多 。
这么说还有点疑问 。如果把所有无理数都“数”出来 。也挨个编上号 。照上面的逻辑来呗！
无理数能“数”出来么？无理数是无限不循环小数 。小数点后面数字随便瞎编就是无理数 。谁能找到瞎编的规律呢 。所以不能用一个有规律的方式“数”出无理数来 。
所以无理数集合是个不可数的无穷集合 。
无理数不单比有理数“多” 。而且“多得多”！
因为有理数是有规律的 。就是小数点后面的数字是按照某种规律循环的 。比如1/3就是0.3333333……（循环3）；6/7就是0.857142857142……（循环85714） 。十进制一共就十个数字 。我们在这十个数字里面随机挑选一个放在小数点后第一位 。再从十个数字随机挑选放在第二位 。以此类推 。挑出一个无限循环小数的可能性有多大呢？一点可能性也没有！
就是说如果随机组合数字得到一个数 。那么一定是无理数 。有理走遍天下 。但走遍天下也整不出个有理数来 。

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