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如何使用数学证明无理数数量多于有理数？( 二 )

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这样我们就得到了一个新的 无理数 b 。根据构造过程 b 不等于 竖列 中的任何无理数 。这和竖列 包含所有 (0, 1) 之间的所有无理数 矛盾 。
这就证明了 (0, 1) 之间的无理数不可列 。进而 全体有理数 R\Q 也不可列 。于是 R\Q 不可能 和 ω 一一对应。即 。|R\Q| ≠ |ω| 。
而很容构造映射 f : ω → R\Q 。如下：
f(n) = n + √2
显然 f 是单的 。于是有：
|ω| ≤ |R\Q|
上面已经证明了 |R\Q| ≠ |ω| 。于是得到
|R\Q| > |ω|
即 。R\Q 不可数 。
综合 。由上面的证明结果：
|Q| = |ω| 。Q 可数；
|R\Q| > |ω|。R\Q 不可数；
得到：
|R\Q| > |Q|
即 。无理数比有理数多 。
最后 。实际上无理数比有理数多的多 。
可以这样想象（并非证明）：
设 。袋子里有十个球 。分别标记有 0 到 9 十个数字 。每次随机的取一个球 。记录球上的数字 。然后将球放回；用这个记录的数字 作为 (0, 1) 之间小数的一个小数位 。
如果 。要使得这个小数是有理数 。则必须 从 某次取球之后 。每次都取到 0 号球（或按照某些固定循环 取球） 。因为要无限的取下去 。所有这种事件的发生概率 。为 0 。其逆事件 。即 。小数是无理数 。的发生概率是 1 。
由此可见 。通过取球生产的 (0, 1) 之间小数 。该小数是 无理数 是必然事件（概率 P = 1） 。该小数是 有理数 是 不可能事件（概率 P = 0） 。这就说明 无理数比有理数多的多 。
注：对于有无穷个样本点的样本空间 。不可能事件 也会发生 。
事实上 。在《测度论》中 。有理数集 Q 就是 零测集 。不过这个就扯远了 。这里打住 。
（以上的证明并不简洁 。应该有更好的证明方法 。希望各位数学大神不吝赐教！另外 。由于本人数学水平有限 。出错在所难免 。欢迎各位老师批评指正！）
其他观点：
(1)如果集A中的元素 。都是集B的元素 。那么称A是B的子集 。记做A(B（符号是∪横过来的样子 。打不出来 。暂以(代替） 。根据定义有A(A 。(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集 。规定空集是任何集合的子集 。空集记做φ 。(3)如果集合A(B 。而B中确实存在不属于A的元素 。那么称A是B的真子集 。(4)如果A(B 。且B(A 。那么A、B由相同的元素组成 。此时称A=B 。(5)由集A和集B的一切元素组成的集合 。叫A和B的和集或并集 。记做A∪B 。(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合 。叫A和B的通集或交集 。记做A∩B 。这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形 。(7)若A∩B=φ 。称A、B不相交 。否则称A、B相交 。从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质：1. A∪A=A 。A∩A=A2. A∪φ=A 。A∩φ=φ（φ类似于0 。∪类似于加法运算 。∩类似于乘法运算）3. A∪B=B∪A 。A∩B=B∩A （并、交的交换律）4. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 。(A∩B)∩C=A∩(B∩C) （并、交的结合律）5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律）再来定义集合的“减法”：(8)集合A中所有不属于集合B的元素组成的集合 。称作集A减集B的差集 。记做A-B 。注意这里并不要求B(A 。(9)如果B(A 。则称差集A-B为集B关于集A的余集 。记做C(A,B) 。(10)(A-B)∪(B-A)称做A、B的对称 差 。记做A△B 。实际上它就是那些只属于A或只属于B的元素组成的集合 。同样从以上概念定义可以推导出集合“减法”运算的一些性质：6. 如果A(B 。那么A-B=φ7. (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“减法”的分配律）8. (C-A)-B=C-(A∪B)9. A∪B = (A△B)∪(A∩B)以上只是集合的一些基本概念定义 。下面来定义集合的映射：(11)设A、B是两个非空集 。如果存在一个规则ψ 。使得对于A中的任何一个元素x 。按照规则ψ 。在B中有一个确定的元素y与之对应 。那么称这个规则ψ是从A到B的映射 。元素y称做元素x（在映射ψ下）的象 。记做y=ψ(x) 。(12)对任一个固定的y 。称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象 。集合A称作映射ψ的定义域 。ψ(A)称作映射ψ的值域 。注意ψ(A)不一定等于B 。只能说它一定是B的子集 。(13)如果ψ(A)=B 。那么称ψ是 A到B上的 映射 。又称为A到B的满射 。特别地 。如果A、B都是实数或复数集 。那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了 。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了 。下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似） 。(14)设ψ是 A到B中的 映射 。若对每一个属于ψ(A)值域的y 。A中只有一个元素x满足ψ(x)=y 。那么称ψ是可逆映射或一对一的映射 。或单射 。换句话说 。对A中任意两个元素x1 。x2 。当x1不等于x2时 。必然有ψ(x1)不等于ψ(x2) 。那么ψ就是 A到B的 可逆映射 。(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射 。那么称ψ为A到B的一一对应或双射 。也就是 。如果ψ是A到B的一一对应 。意味着对于A中任何一个元素a 。有唯一的b=ψ(a) 。且对B中的每一个元素b 。必在A中有唯一的元素a 。适合ψ(a)=b 。这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别 。否则容易将可逆映射跟一一对应搞混 。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧 。因为讲函数的时候 。这个中跟上的区别仍然会强调的 。例如 。假设ψ是A到B中的可逆映射 。那么或许在B中还存在某个元素y 。它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的 。但如果ψ是A到B上的一一对应 。那么这样的y是不存在的 。对等的概念 。(16)设A、B是两个集 。如果存在一个A到B的一一对应 。那么称集A与集B对等（或相似） 。记为A～B 。规定空集跟自身对等 。接下来 。集合的势的概念快要出来了 。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础 。例如 。正偶数集合和自然数集 。ψ:n->2n 。即可使得两集合之间建立一一对应 。因此他们是对等的 。显然 。对等具有以下性质：10. A～A 。对等的自反性11. 若A～B 。那么B～A 。对等的对称性12. 若A～B 。B～C 。则A～C 。对等的传递性刚才已经强调过 。若ψ是A到B中的可逆映射 。ψ未必是A到B的一一对应 。但我们知道ψ实现了A到值域ψ(A)的一一对应 。因此A与B的子集ψ(A)对等 。如果A与B的子集对等 。而B又与A的子集对等 。那么可以证明A、B是对等的 。这个定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理 。好了 。前面这些概念和定理都是在做铺垫 。现在我们要正式开始进行集合个数的比较了 。集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题 。我们称之为集的势论 。关于事物的多或少是很普通的概念 。例如 。问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上 。而且一个学生只能坐一张凳子 。最后 。如果有学生没坐到凳子 。那么便是学生多 。如果最后有凳子空着 。那么便是凳子多 。所以 。类比上面这样的方法 。我们引入以下这个定义：设A、B是两个集 。(1)如果A和B对等 。那么称A和B具有相同的势（或基数） 。记集A的势为P(A)（其实正确的写法是A上面两横 。因为无法打出这样的符号 。就以P(A)代替 。不影响讨论） 。A和B具有相同的势时 。记为P(A)=P(B) 。(2)如果A对等于B的某个子集B1 。那么称A的势小于或等于B的势 。记为P(A)

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