正定矩阵的特点(一) 数学

关于正定矩阵的一些运算

正交矩阵
矩阵的特征分解
矩阵相似
正定矩阵的定义
正定矩阵乘积的特征值
KaTeX数学公式

正交矩阵对于一个矩阵 Q Q Q 若其为正交矩阵则有
Q Q T = E QQ^T = E QQT=E
E E E 是单位矩阵
矩阵的特征分解对于一个矩阵其特征值来说，有以下基本条件：
A v = λ v Av =\lambda v Av=λv
同样我们可以得到矩阵的特征值分解
A = Q Σ Q ? 1 A=Q\Sigma Q^{-1} A=QΣQ?1
其中 Q Q Q是正交矩阵，只需证明矩阵对应不同特征值的特征向量之间相互正交即可，证明：
对于对称正定矩阵 A A A的两个特征值 τ ξ \tau \xi τξ有
A q = τ q Aq = \tau q Aq=τq , A p = ξ p Ap=\xi p Ap=ξp
q t A p = q t ( A p ) = ξ q t p q^tAp=q^t(Ap)=\xi q^tp qtAp=qt(Ap)=ξqtp
同时q t A p = ( q t A ) p = ( A t q ) t p = ( A q ) t p = τ q t p q^tAp = (q^tA)p=(A^tq)^tp=(Aq)^tp=\tau q^tp qtAp=(qtA)p=(Atq)tp=(Aq)tp=τqtp
即有 ξ q t p = τ q t p \xi q^tp=\tau q^tp ξqtp=τqtp 因为 ξ ≠ τ \xi\ne\tau ξ??=τ则 q t p = 0 q^tp=0 qtp=0即两个特征向量之间是相互正交的
矩阵相似矩阵 A A A和 B B B相似的条件为：
A = Q ? 1 B Q A=Q^{-1}BQ A=Q?1BQ
对于相似矩阵其特征值相同原因：
A x = ξ x Ax=\xi x Ax=ξx
Q ? 1 B Q x = ξ x Q^{-1}BQx = \xi x Q?1BQx=ξx
B Q x = ξ Q x BQx = \xi Qx BQx=ξQx
则两矩阵特征值相同
正定矩阵的定义广义：设 M M M 为N阶方阵对任意非零向量x x x 有x M x T > 0 xMx^T> 0 xMxT>0 则称 M M M是正定矩阵
狭义：对于n阶实对称矩阵 M M M，当且仅当对于所有非零实系数向量 z z z，都有 z T M z > 0 z^TMz> 0 zTMz>0
正定矩阵乘积的特征值对于正定矩阵 A , B A,B A,B，由于 A A A是正定矩阵 A = P 2 A=P^2 A=P2
A B = P P B = P ( P B P ) P ? 1 AB=PPB=P(PBP)P^{-1} AB=PPB=P(PBP)P?1
即 A B AB AB相似与 P B P PBP PBP，则其特征值相同则后者正定。则 A B AB AB的特征值大于零
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Gamma公式展示Γ ( n ) = ( n ? 1 ) ! ? n ∈ N \Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N Γ(n)=(n?1)!?n∈N 是通过欧拉积分
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z ? 1 e ? t d t . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,. Γ(z)=∫0∞?tz?1e?tdt.